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[硕士论文] 张婷婷
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要研究指标1积分代数方程的多步配置方法.积分代数方程的具体模型广泛应用在物理学、化学和工程等众多领域,有着重要的理论和实用价值.
  本文首先回顾了Volterra积分方程和积分代数方程的研究现状,然后给出了第一类Volterra积分方程的多步配置格式并证明了配置解的存在唯一性,并且还分析了一般情况下多步配置方法的收敛性.特别地,对cm=1,进一步地详细给出了2步和3步配置法的收敛性,其次给出了指标1积分代数方程在连续多项式空间的配置方法,即指标1积分代数方程的2步配置法.证明了在连续多项式空间的配置解的存在唯一性并分析了当cm=1时的收敛性,接下来,在上述工作的基础上,我们研究指标1积分代数方程的多步配置方法,给出配置格式和配置解的存在唯一性并做出收敛分析.在每一章的最后我们都给出数值算例来验证理论分析.
[硕士论文] 刘颜
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:本文利用Lie对称法及Lie-B(a)cklund变换法分别研究1+1维WGC方程和Volterra格方程的对称性,获得了这两个方程的Lie对称和Lie-B(a)cklund对称.
  本文共由四章组成:
  第一章是绪论,主要对Lie对称及Lie-B(a)cklund变换方法的研究背景进行介绍.
  第二章是预备知识,主要讲述Lie群的一些概念以及原理算法,从微分、差分、微分差分三个层面讨论Lie对称的生成元、延拓及不变群.
  第三章运用Lie对称法研究1+1维WGC方程和Volterra格方程的Lie对称.获得了这两个方程的无限维李代数及对称.因为1+1维WGC方程是一个有理型的微分差分方程,所以在约化过程中需要考虑其分母的约束条件.而非线性离散Volterra格方程不能直接应用离散的Lie对称约化方法,为解决这个问题我们采取相似变换法将其转化为可以使用其进行对称约化的方程.
  第四章主要介绍偏微分方程、微分差分方程的Lie-B(a)cklund变换法的一些概念以及原理算法.同时研究1+1维WGC方程和Volterra格方程的Lie-B(a)cklund变换,并获得这两个方程的约化方程和Lie-B(a)cklund对称.
[硕士论文] 张宇佳
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要基于块脉冲函数来求解指标1的积分代数方程.积分代数方程通常是第一类和第二类Volterra积分方程的耦合系统,其具体模型广泛存在于物理学、化学和工程等众多科学技术领域.
  本文利用块脉冲函数分别采用间接和直接两种方法对指标1的积分代数方程进行求解.对于间接法,首先将指标1的积分代数方程转化为一个Volterra积分方程组,然后用块脉冲函数对其进行逼近,证明对应的数值解的存在唯一性.且详细分析其收敛性.为了采用直接方法来求解指标1的积分代数方程,首先针对第一类Volterra积分方程:给出块脉冲函数的数值格式,证明数值解的存在唯一性及1阶收敛性.然后基于第一类Volterra积分方程的数值分析来研究指标1的积分代数方程:给出块脉冲函数直接求解指标1积分代数方程的数值格式,证明数值解的存在唯一性及1阶收敛性.最后,分别给出一些数值算例来验证我们的理论结果.
[硕士论文] 王哲
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要研究第三类自卷积Volterra积分方程的分段多项式配置方法.该类方程广泛地应用于光谱学的实际问题、热传递问题、粘弹性方面的记忆内核识别问题等众多科学领域,具有重要的实际意义.
  本文首先回顾了Volterra积分方程的研究现状,然后提出了一种新的加权指数范数并基于此范数证明了解析解的存在唯一性及一致有界性.接下来,首先采用均匀网格研究第三类自卷积Volterra积分方程的1-级配置方法,给出了相应的差分格式,且分析了配置方程的可解性;然后把1-级配置方法的差分格式及配置方程的可解性推广到m-级的情形,并提出一个类似的离散加权指数范数来证明配置解的一致有界性,且得到了配置方法的m阶收敛性.最后通过一些数值实验来验证本文的理论结果.
[硕士论文] 崔鸿玉
计算数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:本文对一维对流扩散方程的初边值问题{ut-vuxx+(bu)x+b0u=f(x,t),x∈Λ,t∈J,u(±1,t)=0,t∈J,u(x,0)=u0(x),x∈(A)进行了数值分析.
  本文给出了一维对流扩散方程的Euler隐格式,及对流扩散方程中应用的一些性质.本文我们在第三章与第四章中依次给出Legendre谱方法,Chebyshev谱格式,并依次从解的存在性与唯一性,并对近似解的收敛性及与精确解的误差估计等几个方面来对对流扩散方程进行了分析.
[硕士论文] 徐柳
数学 黑龙江大学 2017(学位年度)
摘要:特征列方法是数学机械化理论的核心算法,目前已被应用于机器证明定理、方程求解、数字控制等多个领域.对称性理论在非线性微分-差分方程的研究中起着非常重要的作用,李对称群方法正好是研究方程对称性的有力工具.本文的核心思想是将特征列方法和李对称方法相结合,先利用李对称方法求得确定方程组,再通过特征列方法求解确定方程组,从而求得非线性微分-差分方程组的向量场和交换关系.
  本文共由三章组成:
  第一章是绪论,主要讲述了数学机械化和Lie对称的研究内容,历史背景,发展历程以及微分-差分特征列的简单介绍.
  第二章是预备知识,主要讲述了微分-差分特征列以及Lie群的一些概念以及原理算法,讨论了Lie对称的生成元、延拓及不变群,给出了基于特征列法的微分-差分方程对称算法理论.
  第三章是本文的核心,将差分特征列法与Lie对称法有机结合,利用Lie对称理论中的交换流方法得到确定方程组,然后结合差分特征列法获得了Langmiur chains方程和Klein-Gorden方程的向量场和交换关系.
[硕士论文] 李滨滨
数学 黑龙江大学 2017(学位年度)
摘要:本文提出了微分差分非局部对称法,用于求解非线性微分差分方程的对称.本文以两类Toda晶格方程为例,应用非局部对称法分别得到了这两个方程的决定方程,从而求得相应的非局部对称以及相应的约化方程.与古典Lie对称方法相比,该方法不需要寻找方程的不变条件及不变解,使得运算更加便捷,对称形式更加丰富,从而可以得到微分差分方程更多形式的解.
  本文共由三章组成:
  第一章是绪论,主要讲述了非局部对称和Lie对称的研究内容,历史背景,发展历程以及微分-差分方程的简单介绍.
  第二章是预备知识,主要讲述了非局部对称以及Lie群的一些概念以及原理算法,从微分,微分-差分两个层面讨论了Lie对称的生成元、延拓及不变群,以及非局部对称从微分到微分差分的推广.
  第三章是本文的核心,应用非局部对称法得到(2+1)维Toda-like晶格方程和(2+1)维Toda晶格方程的非局部对称及相应的约化方程.
[硕士论文] 刘丹
数学 黑龙江大学 2017(学位年度)
摘要:本文利用了Lie对称的方法研究分数阶偏微分方程.分数阶偏微分方程被广泛的用来构建力学系统、信号处理、热力学系统以及系统识别等应用领域中的模型,分数阶偏微分方程能够更精确地模拟具有遗传特性和记忆的材料.关于时间分数阶偏微分方程在研究方程中,通过求出方程的不变解和对称约化,能有效地降低方程求解过程中的计算难度,本文共由三章组成:
  第一章是绪论,分别概述了分数阶微积分的数学研究背景及目前发展的状况,Lie群的研究的数学背景及目前发展的状况,以及Lie群对称性研究分别在偏微分方程模型和分数阶偏微分方程模型中的应用.
  第二章是预备知识,主要介绍了几种常用的分数阶微积分的定义,以及Lie群的基本概念和性质,如单参数变换群,延拓和向量场等.
  第三章是分数阶方程的Lie对称研究,研究了时间分数阶Cahn-Allen方程和时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程,通过求出延拓和利用Lie准则,计算出对应的向量场.最后,利用向量场得到同解的约化方程.
[硕士论文] 冯悦
计算数学 浙江大学 2017(学位年度)
摘要:偏微分方程被广泛用于描述现代科学和工程计算中的许多实际问题。对于解析解不存在的微分方程,有效地进行数值求解就尤为重要。随着数学理论的深入研究和计算方法的不断发展,有限差分法,有限体积法以及有限元方法已经能够较好得求解大部分微分方程。然而,对于数值解比较奇异的方程,如果采用均匀网格需要大量的计算资源,尤其是高维问题可能会超出计算机的计算能力。移动网格方法根据数值解的特点对网格进行重新分布,可以在不浪费计算资源的前提下有效减少计算误差。同时,在实际数值计算中,选取均匀的时间步长可能需要较长的计算时间。时间自适应方法可以在计算的过程中不断调整时间步长,从而提高数值计算的效率。
  1925年,Einstein预测了在极低温度下气体中的粒子会处于相同的量子态。1995年,在稀薄的碱金属气体中发现了Bose-Einstein凝聚态(BEC)。该问题引起了物理学家和数学家的广泛关注,通常用非线性薛定谔(NLS)方程来描述Bose-Einstein凝聚态的单粒子性。大量的科研工作者在理论和数值方面对非线性薛定谔方程进行了研究,并提出了一系列的数值求解方法。在无穷势阱下,当粒子间存在强相互作用时,Bose-Einstein凝聚的基态解中会出现边界层。因此,利用均匀网格计算该基态解需要大量的计算资源。同时,求解Bose-Einstein凝聚的基态解就是在限制条件下求能量泛函的极小值点,该能量在数值计算初期变化剧烈,而在接近收敛时变化非常缓慢,因此采用均匀时间步长需要较长的计算时间。根据该问题数值解在空间和时间上的特点,在空间上利用移动网格方法,在时间上利用时间自适应方法能够有效提高数值计算的效率。
  本文主要介绍一种时空自适应有限元方法来求解Bose-Einstein凝聚态的基态解。首先,本文介绍了自适应方法和非线性薛定谔方程的相关理论知识。其次,介绍了一维问题基于等分布原理的移动网格方法,二维问题基于调和映射的移动网格方法以及时间自适应方法。然后,本文分析了不同势阱下Bose-Einstein凝聚态基态解的数值特点,提出了如何在空间上实现移动网格技术以及在时间上实现自适应。基于时空自适应有限元方法,本文给出了一维和二维情况下Bose-Einstein凝聚基态解的数值算例,分析比较了均匀网格和移动网格的数值结果,并指出时空自适应方法的有效性。
[博士论文] 王兵贤
数学;计算数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:近年来,偏微分方程反问题一直是计算数学和应用数学的重要研究领域之一,研究此类问题的难点在于它的不适定性和非线性性,其中抛物型方程参数识别问题是一类经典而重要的偏微分方程反问题,在地震探测、地下水污染、化学反应扩散等领域具有重要的应用背景.本文基于正则化思想,考虑了抛物型方程三类逆时反问题的正则化数值求解方法,并进行了相关的理论分析.本文由五部分组成.
  第一章,介绍了不适定问题正则化方法的基本理论,概述了国内外与本文研究相关的已有研究工作和研究现状,并在此基础上阐明本文的主要研究内容和创新点.
  第二章,研究求解逆时热传导问题的同伦方法.这类问题是一类经典的线性不适定问题,其理论分析与算法研究已取得了很多有意义的结果.基于同伦思想,提出了扰动输入数据情形下的正则化算法.本文提出的这种算法的优点在于,在对精确初始分布的先验假设条件下,将精确终值数据作为初始猜测时,可以确保同伦迭代序列的收敛性.而且,当利用扰动测量数据作为初始猜测时,可以从理论上建立正则化解的误差估计.本文算法相比其他已有算法,迭代步数少,计算成本低.数值模拟结果支持了理论分析和算法的有效性.
  第三章,研究抛物型方程内部热源和初始分布的同时重建问题,给定的反演输入数据是在两个不同时刻的终值测量数据.首先通过函数变换,利用抛物型方程解的显式表示研究了反问题解的唯一性和条件稳定性.其次,将反问题转化为带有L2罚项的优化问题,运用变分伴随思想构造关于两个不同终值时刻的双伴随系统,并构造关于未知热源和未知初始分布的交替迭代格式以减少计算量.对二维空间变量的扩散模型数值模拟时,起始搜索方向采用泛函下降最快的负梯度方向.对于后续的方向,初始温度和源项的反演,分别采用两种不同的优化方法.数值模拟结果显示了算法的有效性.数值试验中,将交替迭代格式和没有用交替迭代的迭代方法进行了比较,结果显示交替迭代格式的使用大大提高了运算效率,主要原因在于,交替迭代法在用Wolfe线性搜索方法确定迭代步长时大大降低了计算量.另外,我们还考虑了具有实际背景要求的在全空间热通量有界的罚项构造,对此正则化泛函的优化问题,讨论了一维空间变量的优化模型和数值实现,并和带有L2罚项的一维模型的数值试验进行了比较,发现总迭代次数减少了.
  第四章,考虑了一类二维非线性抛物型方程热传导系数反演的优化方法,附加条件选为某终端时刻的测量值,由于反问题本身是非线性的,再加上非线性项的影响,导致理论上反问题的唯一性可能无法保证.将该反问题转为带有两个正则化罚项的优化问题,证明了泛函极小元的存在性,分析了极小化序列的收敛性,基于变分伴随思想构造迭代算法.数值模拟过程中,先验选取正则化参数,搜索方向首次选用负梯度方向,后续方向选用混合下降算法求解.数值试验结果表明,我们提出的方法对于精确输入数据和带有噪音的输入数据都具有很好的重建效果.
  最后,第五章总结了本论文的主要工作,并对未来的相关工作做出展望.
[博士论文] 郝朝鹏
数学;计算数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:分数阶微分方程是经典整数阶微分方程的推广.在过去的二十年里,分数阶微分方程被广泛地用于涡流模拟、经典守恒系统混沌动力学,地下水污染物传输,以及生物、物理、化学、金融学等诸多领域.由于分数阶微分方程能够模拟反常扩散现象,能够捕捉到系统中的非局部效应和对象之间的长时间、大范围相互作用,因此,对于分数阶微分方程理论和数值方法的研究越来越受到来自工程、控制、应用数学等领域学者们的关注.
  本文旨在研究双边空间分数阶扩散方程的高精度及高效数值方法.作为科学计算和应用的强有力工具,有限差分、有限元和谱方法是求解空间分数阶扩散方程的重要数值方法.然而由于分数阶导数算子具有非局部性,要实现这些数值方法往往会导致存储量很大,计算代价高昂.为了克服这一困难,降低存储量、节约计算成本,发展高精度数值格式是行之有效的方法之一.这些构成了本文研究的重点.其次,分数阶导数算子中的奇异核导致了分数阶微分方程解的弱奇异性.对于空间分数阶扩散方程来说,奇点在边界处,由此导致了数值方法无法获得较高的精度,这是本文着力解决的另一个问题.
  首先,在本文中,通过加权移位的Grünwald公式结合紧凑技巧,我们推导出了一个空间分数阶导数的四阶有限差分逼近,研究了有限差商逼近算子的性质,随之将提出的有限差分逼近应用到一维和二维空间分数阶微分方程的求解中.通过能量分析方法,证明了所提出的拟紧有限差分格式在L2模意义下无条件稳定与收敛,并且给出一些数值算例,验证了理论结果的正确性.
  其次,通过外推技巧,提出了一种有效的算法,用于提高求解带有不光滑解分数阶边值问题的有限差分格式的精度.我们重新考虑两种被广泛应用的分数阶导数的逼近公式,即加权移位Grünwald格式和分数阶中心差分格式,证明了两种格式在最大模意义下的稳定性.基于分数阶边值问题解的主项奇异性分析,我们提出了加权移位Grünwald格式和分数阶中心差分格式的后处理算法,相比于原有格式得到的数值解,后处理算法可以取得更高的精度.对于阶次接近于1的分数阶微分方程,为了进一步提高精度,我们发展了基于两次外推的奇异项校正方法.数值模拟结果显示,通过使用后处理算法,数值解的精度和收敛率都得到了大幅提高.
  随后,我们证明了相比于常规的Sobolev空间,解在带权Sobolev空间的正则性可以得到极大提高.应用该正则性,我们证明了谱Galerkin方法的高收敛性.此外,本文提出了谱Petrov-Galerkin方法,并证明了该方法的最优误差估计.我们给出了数值算例,数值结果验证了理论预测的正确性.
  最后,我们考虑双边分数阶扩散方程的变系数问题.通过乘积的求导法则,我们首先将原问题转化并重新表述成一个带有低阶分数阶项的等价方程,然后基于等价方程发展了Galerkin有限元方法.即使对于大的变系数问题,强制性不再成立,我们仍然采用Galerkin弱形式.借助于G(a)rding不等式,我们证明了数值解在适当小步长条件下是唯一可解的.我们对解提出了合理的正则性假设,基于此对于所发展的Galekin有限元方法进行了误差估计.数值算例验证了理论结果的可靠性和正确性.
[硕士论文] 孙冉
大地测量学与测量工程 安徽理工大学 2017(学位年度)
摘要:煤矿生产近两年有所缓慢,但煤炭作为我国主要能源的地位是暂时无法改变的。煤炭开采过程中所造成的地表移动影响着矿区的生产安全,对矿区地表的移动和变形进行准确的预计是必不可少的,对采区上方地表的变形预计工作尤为重要,准确的模型参数决定着预计结果的精度。目前,对于边缘收敛快的缺陷没有得到彻底解决。
  本文选取的工程实例为五沟矿1013工作面及皖北矿区其他9个工作面。介绍了基于概率积分的最小二乘法、模矢法、遗传算法和经验公式求参四种方法,以皖北矿区其他9个工作面为例,得到了综合求参经验公式。分别采用最小二乘法、模矢法、遗传算法和经验公式求参四种不同的方法对五沟矿1013工作面进行求参,结果表明遗传算法的预计精度高于其他三种预计方法,共性问题是预计结果具有边缘收敛快的缺陷。本文提出了新的修正模型,针对五沟矿1013工作面,基于遗传算法,分别利用修正模型和经典模型进行求参,并对结果进行了比较分析。
  本文利用MATLAB软件的开发平台,对四种求取预计参数的方法分别进行编程,求取地表移动预计参数,对修正模型进行编程计算。预计结果基本解决了边缘收敛快的缺陷,修正后的遗传算法模型在求取参数精度上具有更好的适用性,对其他相似地质采矿条件的矿区地表移动预计工作具有一定的指导意义。
[硕士论文] 陈泽芸
机械工程 西南科技大学 2017(学位年度)
摘要:元胞自动机是一种时间、空间都离散的动力系统,作为一种数值计算工具已经被广泛应用许多领域。本研究基于元胞自动机思想提出一种用于求解二维弹性力学问题的无网格方法。并将该无网格方法与有限元法进行耦合,形成一种新的耦合算法,用于计算二维固体模型的位移与应力。
  该耦合算法将二维弹性域分成两个子区域,靠近边界的为有限元子区域,其余的为元胞自动机子区域。有限元子区域用有限元法进行网格划分,元胞自动机子区域用一系列随机的元胞结点进行离散。在元胞自动机子区域内,每个元胞结点都有一个正六边形的影响域,影响域内包含若干个结点,从中选择6个结点作为中心结点的邻居。元胞的正六边形影响域可以分成6个正三角形,用有限元三角形插值可以建立邻居结点与影响域顶点、中心结点间的位移关系。通过三角形的刚度系数矩阵可以建立影响域顶点和中心结点间的关系,利用系数矩阵的转置消去影响域顶点的位移,则得到元胞自动机区域内任一结点与其邻居结点间位移的关系。在靠近边界的有限元子区域,任一结点与其相关结点间的关系直接通过有限元法中的总体刚度矩阵建立。两个子区域都在元胞自动机的框架下求解,将结点位移求解式定义为元胞自动机的局部演化规则,利用元胞自动机的动态演化进行求解。用这种方法可以将有限元子区域和元胞自动机子区域无缝连接,实现算法的自然耦合,对二维弹性力学模型,通过元胞自动机的动态演化求得结点的位移后,结点的应力可以利用传统有限元方法得到。
  元胞自动机的演化求解可以从任意位置以任意顺序进行,这使得该耦合算法在并行计算方面有很大优势。本文中也提出了一种简单的并行计算方法。算例证明了该耦合算法的正确性。
[硕士论文] 邹敏
大地测量学与测量工程 安徽理工大学 2017(学位年度)
摘要:近年来,三维激光扫描技术以其测速快、精度高、无接触测量等优势,被越来越广泛地应用于各行各业,而多视点云配准是三维激光扫描点云数据处理技术中的一项核心技术。随着社会的发展与现代测绘技术的进步,各行各业多视点云数据配准的精度要求也在不断的提高。而配准的精度实际上就在于两两测站间坐标转换参数的求解。本文通过对几种主要的多视点云配准算法进行研究,提出一种多视点云配准的新算法,并详细推导其解算方法与过程,通过MATLAB语言加以算法实现,进行精度的评定与比较,主要研究内容如下:
  通过对迭代最近点(Iterative Closest Point,ICP)算法进行研究,推导了基于奇异值分解法的经典ICP算法解算过程,并基于二维Delaunay三角剖分法,详细阐述了三维Delaunay点集搜索法的基本原理与方法,推导了快速搜索配对最邻近点集的Delaunay-ICP算法,实现了ICP算法时间效率上的优化。实验结果表明:Delaunay-ICP算法与经典ICP算法参数解算结果相同、精度相同,但计算效率优于传统的ICP算法,Delaunay-ICP算法较传统ICP算法提高了约27.94%。同时,验证了ICP算法不适用于大旋转角度间的测站间配准的缺陷,针对一些旋转角度较小的测站间配准,ICP算法具有较好的效果,但面对旋转角度较大的情况,ICP算法则无法找到其正确的对应点,导致解算结果完全错误。
  分别基于经典最小二乘(Least Squares,LS)和非线性最小二乘,推导了多视点云配准的线性模型和非线性模型的基本解法,并通过不同案例进行了验证,结果表明:当旋转角度较小时,线性模型与非线性模型具有同样高的精度与较好的配准效果;但当旋转角度较大时,线性模型的解算结果则会严重失真,只能通过非线性模型进行参数求解。
  采用变量误差(Error-in-variables,EIV)模型及其对应的整体最小二乘(TotalLeast Squares,TLS)估值方法,构建多视点云配准的Gauss-Helmert模型,并基于高斯-牛顿迭代的非线性拉格朗日法,详细推导了其解算过程。通过三维激光扫描的实测数据加以验证,结果表明:该算法适用于任意旋转角的多视点云配准,且相较于ICP算法与非线性LS算法,具有更高的配准精度,相较于现有的TLS方法精度一致,但待估参数的数目大大减少,计算效率显著提高。
  基于三维Delaunay点集搜索策略,针对海量点云数据的配准问题,提出一种基于TLS的多视点云配准的Delaunay-TLS新算法。该算法通过Delaunay点集搜索法快速定位对应点集,并通过在进行大面积点云数据精配准前先进行一次粗配准的方式,克服了Delaunay点集搜索法不适用于大旋转角的缺陷。同时,新算法充分利用了海量点云数据进行的精确配准,较传统的TLS算法具有更高的配准精度。实验结果表明:新算法适用于任意旋转角度的多视点云配准,且相较于通过少量特征点拼接的TLS算法,具有更高的配准精度,尤其是对于特征点不宜提取的扫描对象。
[硕士论文] 王华军
数学 桂林电子科技大学 2017(学位年度)
摘要:电磁逆散射成像问题在实际中具有广泛的应用,其研究和开发利用具有广阔的远景.介电常数和电阻率都反映物质电特性的本构参数,并且介电常数和电阻率的反演都属于逆散射问题.由于介电常数和电阻率对逆散射的特性不尽相同,因此对逆散射研究通常将这两类参数分开处理,
  本研究主要内容包括:⑴针对电阻率的反演,研究了三维直流电阻率反演成像问题.为实现三维直流电阻率反演,把原问题的控制方程模型转化为带有邻近项的无约束优化模型.根据共轭条件推导出一个新的谱共轭梯度法,证明了该算法的全局收敛性和正则性.在数值实验中,新提的算法与其他文献里的FR和PRP共轭梯度法及非精确高斯-牛顿法对比,实验结果验证了算法的有效性。⑵针对介电常数的反演,研究了电磁波逆散射成像问题.首先,将对比源扩展波恩(CSEB)模型,通过矩阵运算变换化简得到一个简化的对比源扩展波恩(S-CSEB)模型,模型简化的部分在计算复杂度方面由O(N3)减少到O(N2),其中N为目标区间被剖分的个数。其次,提出了一个修正的子空间优化算法来求解S-CSEB模型,数值结果表明修正的子空间优化算法的有效性和可行性。
[硕士论文] 孙利红
数学 曲阜师范大学 2017(学位年度)
摘要:矩阵的特征值理论是计算数学中最重要的研究问题之一,广泛应用于经济、工程和军事等领域,并且大多数实际问题最后常常归结为矩阵的最大特征值问题.因此,矩阵的最大特征值计算就变得尤为重要.许多学者对非负不可约矩阵设计了高效的求解算法.实际问题的计算中,对于高维矩阵,要判断其可约性,是及其花费时间的.所以我们的目的就是给出一种求解非负可约矩阵最大特征值的算法.
  本文基于非负不可约矩阵的最大特征值的研究,我们把已有结论和算法推广到对称非负可约矩阵上,给出计算对称可约矩阵最大特征值的算法,进一步,把算法应用到H-矩阵以及Z-矩阵正定性的判定上.
  第一章介绍了可约与不可约矩阵的一些基础知识以及求解非负不可约矩阵最大特征值的方法.
  第二章基于非负不可约矩阵的最大特征值的对角变换算法的研究,提出了求解对称非负可约矩阵的最大特征值的算法.该算法既不需要判断矩阵的可约性,也不需要分解矩阵.我们给出算法收敛性的证明,并给出数值例子说明了算法的可行性.最后,把算法应用到H-矩阵的判定上.
  第三章结合非负不可约矩阵最大特征值的幂算法的研究,给出了一个求解对称非负可约矩阵的最大特征值的新算法.新算法在选取初始向量时,要保证各个分量是严格大于零的,并且在每次迭代后,要对向量进行归一化处理.该算法对于任意的对称非负可约矩阵是收敛的,并给出数值实例说明了算法的优越性.进一步,我们给出算法的一个实际应用,即把算法应用到Z-矩阵正定性的判定上.最后,我们对论文进行总结并给出今后研究的方向.
[硕士论文] 周腾飞
测绘工程 安徽理工大学 2017(学位年度)
摘要:随着测量技术的不断发展,三维坐标转换在矿山测量、工程测量、GNSS、摄影测量及三维激光扫描等领域应用愈加广泛,人们对于测量成果精度的要求也越来越高。传统的三维坐标方法逐渐不能满足人们的要求,以经典线性Bursa-Wolf模型为例,其仅适用于旋转角度较小的情况,而对于大旋转角,线性Bursa-Wolf模型求解的转换参数会严重失真,甚至求解出的转换参数完全不能使用,从而导致转换失败。传统三维坐标转换模型主要是基于经典最小二乘(least squares,LS)原理,通过构建Gauss-Markov模型求解转换参数,仅考虑了观测向量中存在的随机误差,而系数矩阵中含有的观测值使得系数阵中也会存在随机误差,Gauss-Markov模型并没有顾及到这一方面。然而目前大多数的坐标转换问题,仍依赖于传统的坐标转换模型和方法,转换参数精度偏低,在理论和应用上的局限性越发明显。
  整体最小二乘(Total Least Squares,TLS)能兼顾观测向量和系数矩阵中的随机误差,对模型进行整体考虑以及全面分析。TLS也可以拓展为加权整体最小二乘(weight total least squares,WTLS)估计,以解决观测值不等精度的问题。本文首先通过介绍三维坐标转换基本原理,引出转换参数的线性模型和非线性模型,探讨了基于Newton-Gauss加权整体最小二乘的正交约束模型的两种解法。
  在三维坐标转换中,由于环境、人为等影响因素的存在,往往观测值中会混入粗差,经典LS,TLS,WTLS对粗差没有很好的抵抗能力,常常会由于粗差的存在,导致模型扭曲,转换参数求解失败。传统三维坐标转换的RWTLS算法应用残差来构造权因子函数,并不能顾及到结构空间抗差。本文基于中位数法计算单位权中误差和利用标准化残差构造权因子函数,推导出了一种基于Newton-Gauss加权整体最小二乘正交约束模型的抗差解法(Robust weighted totalleast squares with constraints,CRWTLS)。通过算例分析,表明算法的稳健性较好,较现有研究,新算法在处理含有粗差污染的问题上具有一定优势。
  在目前的三维坐标转换软件市场中,缺少采用抗差估计求解转换参数的相关软件。基于本文理论基础,笔者开发了CooRTLS-高精度坐标转换软件V1.0。CooRTLS-高精度坐标转换软件V1.0提供椭球内转换、椭球间转换、局部坐标系统转换、三参数求解、四参数求解、七参数求解、十三参数求解、换带、带号计算、高程拟合等功能,基本囊括三维坐标转换所有需求,可为用户提供高精度三维坐标转换功能。
[硕士论文] 徐露萍
统计学 青岛科技大学 2017(学位年度)
摘要:非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域讨论的重要课题之一,它在最优控制理论、梯形网络、动态规划、随机过滤等领域均有广泛的应用.迭代法是求解非线性矩阵方程常用的方法,但在采用迭代法求解非线性矩阵方程时,经常会出现解的收敛速度缓慢、计算量大的问题.近年来,我们较多采用不动点迭代法和免逆迭代法求解非线性矩阵方程,其中免逆迭代法大大地简化了计算的复杂度.
  基于Kronecker积的性质,首先得到了非线性矩阵方程
  tmX+A*(Im(×)X-C)-t A=Q(t>0)
  存在Hermitian正定解的充分必要条件;其次,运用有界序列的收敛原理,分别提出了求解方程的不动点迭代法和免逆迭代法;最后,通过数值例子验证了这两种迭代方法的有效性.
  我们也考虑非线性矩阵方程
  Xs+A*X-t1 A+B*X-t2 B=I(s,t1,t2>0).
  首先得到方程存在Hermitian正定解的一些新的条件和唯一Hermitian正定解存在的充分条件,并通过对s,t1,t2取值范围的讨论,给出了方程解的存在区间;其次,构造了求解方程的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法是行之有效的.
  进而,我们研究了非线性矩阵方程组
  {X+A*Y-1A=E Y+B*X-1B=F.
  首先得到方程组存在正定解的条件;其次,提出了求解方程组的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法的有效性.
  最后,我们研究了非线性矩阵方程组
  {X+AY-1B=E Y+CX-1D=F.
  分别运用最速下降法和Newton法求解方程组的最小二乘解,并且通过具体的数值例子验证了Newton法的有效性.
[硕士论文] 高玉羊
数学 青岛科技大学 2017(学位年度)
摘要:数值计算求解偏微分广泛应用于数学与工程领域。求解偏微分的方法主要包括有限元法和有限差分法。随着分布式计算平台的快速发展,其中可并行的有限差分格式在并行机上进行快速有效的执行,正受到越来越多的重视。在本文中,主要探究了运用分组显式方法对若干偏微分方程的数值求解,以及在MPI(Message Passing Interface)并行运算环境下对上述方程构造了多种并行模式。
  在本文绪论中,首先分析了并行差分格式的研究意义,研究现状以及国内外的发展趋势,之后介绍了MPI并行技术在当前的发展趋势以及研究意义。在本文第一章中,简单介绍了并行计算原理以及MPI的配置过程。在第二章中,研究了抛物方程的并行数值算法。首先,对Saul’yev非对称格式进行合适的组合,针对二阶抛物型偏微分方程,构造了分组显式方法,并简单扼要分析了该格式的稳定性。之后本章着重介绍了如何在MPI并行环境下对该格式进行数值计算,构建了两种不同的并行算法并与非并行状态下的有限差分格式做出比较,即阻塞通信(等待模式)和非阻塞通信(非等待模式)模式。相对于单个进程求解偏微分方程,两种模式都表现出较好的效果,其中非阻塞通信相较于阻塞通信模式亦表现出较好的并行效率。第三章探讨了高阶抛物型方程的MPI并行算法。首先,利用Saul’yev非对称格式建立了求解高阶抛物方程的四点格式。四点格式是显式求解的,因此可以将求解空间区域分为若干子区域,每个子区域独立计算。验证分析表明,该格式是绝对稳定的。随后针对四点格式,构造了两种不同的MPI并行算法,相对于串行算法运用四点格式求解四阶抛物方程,两种MPI并行模式都表现出极好的效果,而且,非阻塞通信模式下的计算由于相对减少了一部分数据的通信等待时间,使得相对于阻塞通信,非阻塞通信表现出较好的并行效率。为了进一步提升MPI并行模型的效率,分别给出了在不同进程数目下,两种消息传递模型的运算时间。在第四章中,探究了非线性偏微分方程的MPI并行算法,以Burgers方程为例,首先将其线性化处理,然后构建有限并行差分格式,然后构造了与之相适应的MPI并行算法,并运用于大规模的数值模拟运算,得到并行计算相对于串行计算的效率分析结果及加速比。
[硕士论文] 巩小珂
数学 长安大学 2017(学位年度)
摘要:多维双曲守恒律问题是目前计算流体力学领域的重要研究内容之一。求解双曲守恒律方程的熵稳定数值格式具有较强的物理背景,能够有效地避免一些非物理现象的产生。本文详细研究了熵稳定格式的构造方法和主要思想,并根据熵稳定格式的构造方法构造三角形网格下二维双曲守恒律的熵稳定格式,并通过二维Euler方程圆柱绕流问题的数值模拟,说明了格式不会产生红斑现象。主要工作有:
  (1)通过对熵守恒、熵稳定、熵相容格式理论研究的基础上,直接将几种格式推广到二维问题,并对几个典型算例进行了计算,得到了较好的结果,表明这种推广是可行的。
  (2)直接在非结构网格下构造熵稳定格式。首先通过离散得到非结构网格下二维双曲守恒律方程的半离散数值格式,接着以二维Euler方程为例讲述在这个半离散格式的基础之上构造熵稳定格式的具体过程。先构造熵守恒通量函数,然后在此基础之上添加一个Roe型的耗散项,得到了熵稳定格式。由于它只具有一阶精度,为了改进格式的精度,本文采用在计算区域相邻单元的交界面上重构熵变量的方法构造出了一种新的高精度熵稳定格式,并对二维Euler方程圆柱绕流问题进行了数值模拟。
  (3)通过数值算例验证构造的三角形网格下熵稳定格式的有效性,体现其高精度、高分辨率等特点。
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