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[硕士论文] 杨洁
基础数学 闽南师范大学 2018(学位年度)
摘要:映射与空间是一个庞大而前景广阔的课题。近20多年来,广义度量空间理论仍在不断的发展壮大,产生不少活跃的空间类,同时也获得了他们丰富的映射定理。较全面地了解这些空间类的映射性质,从中寻找出存在的问题是很有必要的。本文主要做了下面四个方面的工作:
  (1)精选30个广义度量性质或可数性质,在已发表的文献中查找他们关于8类映射的不变性或逆不变性。
  (2)证明了有限到一闭映射保持及逆保持点Gδ性质,(N)0-snf可数性质,弱拟第一可数性质,拟第一可数性质,csf可数性质,snf可数性质,gf可数性质和sof可数性质等;证明了有限到一闭映射保持g第二可数空间,sn第二可数空间,具有点可数wcs*网的空间,sn对称空间等拓扑性质。
  (3)证明了映射保持序列可分性,商映射保持kR空间性质,完备映射保持c半层空间性质,完备映射逆保持(modk)可度量性和拟(mod k)可度量性。
  (4)讨论有限到一闭映射定理在对称积的应用,给出例子说明本文所论空间关于确定映射的不保持性,同时也否定回答了林寿,沈荣鑫提出的几个映射问题。
[博士论文] 王涵
计算数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines,简称NURBS)方法是曲线曲面表示中最为重要的数学方法,也是计算几何、计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,简称CAGD)、计算机辅助设计(Computer Aided Design,简称CAD)、几何造型与相关学科研究的核心内容之一,经典的有理Bézier曲线曲面与B样条曲线曲面是其特殊形式.由于对形状控制有重要意义,权因子的几何性质一直以来都是NURBS曲线曲面研究的重要内容之一.当一个权因子趋于无穷大时,NURBS曲线曲面趋向于相应的控制顶点,这就是众所周知的NURBS曲线曲面单个权因子的几何意义.
  Toric曲面是一类与有限整数格点集相关的多边形有理参数曲面,它的理论来源于代数几何与组合学,而且其基函数是Bernstein基的推广,经典的有理Bézier曲线曲面是toric曲面的特殊形式.目前,toric曲面的几何性质也是研究热点之一.García-Puente等人指出,当所有权因子都趋于无穷大时,toric曲面的极限曲面即为其正则控制曲面.作为此结论的推广形式,Zhang和Zhu指出当所有的权因子都趋于无穷大时,NURBS曲线曲面也趋向于它们相应的正则控制曲线曲面.正则控制曲面是一类分片的C0连续曲面,且是由有限整数格点集的正则分解决定的.因此,不同的正则分解诱导了不同的正则控制曲面.那么很自然的问题是:同一个toric曲面究竟有多少个正则控制曲面?同一个NURBS曲线曲面究竟有多少个正则控制曲线曲面?
  针对如上问题,本文利用组合学中的secondary多面体理论,首先给出了toric曲面的正则控制曲面个数的计算算法.其次,利用组合学中的state多面体和整数规划理论给出了正则控制曲面的构造公式和另一种个数计算算法.最后,我们将此方法推广,结合NURBS曲线曲面的toric退化理论,给出NURBS曲线的正则控制曲线个数上界公式和一类特殊双二次NURBS曲面的正则控制曲面个数上界公式.所得结论补充了曲线曲面的几何性质,对几何造型应用研究提供了理论支持.
  第一章绪论简单介绍了参数曲线曲面的发展历史,包括有理Bézier方法、NURBS方法的发展与研究现状,阐述了toric曲面的理论背景、发展及其在几何造型中的相关应用.第二章介绍了toric曲面与NURBS曲线曲面的定义和权因子的几何性质.详细阐述了toric退化理论,即当所有权因子都趋于无穷大时,toric曲面的极限曲面为其正则控制曲面.
  第三章主要研究了有限整数格点集的正则分解个数,提出了正则分解与secondary多面体的对应关系.指出由有限整数格点集定义的toric曲面的正则控制曲面个数等于此有限整数格点集的正则分解个数,并给出了计算正则控制曲面个数的算法.在第四章中,利用整数规划方法,指出有限整数格点集的正则分解形式以及个数与state多面体的对应关系,从而得到正则控制曲面的构造方法与另一种个数计算算法.第五章借助NURBS曲线曲面的toric退化理论,将以上结论推广,研究NURBS曲线曲面的正则控制曲线曲面个数问题,并给出了相应的个数上界公式.
  第六章总结全文并对下一步工作进行展望.
[硕士论文] 刘强豪
基础数学 广西大学 2018(学位年度)
摘要:称T是一个树,即不含圈的一维紧致连通的分支流形.任一T的子集被称为T的子树,如果它本身是一个树.任取x∈T,用V(x)表示T-{x}的连通分支的个数.若V(x)≥3,则称x是T的一个分支点;若V(x)=1,则称x是T的一个端点.近年来,许多专家学者研究了树映射的动力学性质,例如ω-极限集的特征、拓扑传递与拓扑混合性、链等价集与湍流、吸引中心与拓扑熵等.本文主要研究树映射的拓扑复杂性,其中涉及到树映射的正拓扑熵与模式熵.
  首先,我们讨论了树映射具有正拓扑熵的一些等价条件,具体地,设f:T→T是一个连续映射,我们证明了下述条件等价:(1)f是强混合的;(2)对任意包含两个非稠密的开集构成的开覆盖(U),拓扑复杂性函数C((U))>n,其中C((U))=limn→∞N(∨ni=1f-i((U))),n为T的端点数;(3)f是一致正熵;(4)f是拓扑K系统.
  接下来,我们讨论了树映射的模式熵,具体地,设f:T→T是一个连续映射,我们证明了如果f的拓扑熵为零,则T的每个开覆盖(U)的模式熵具有多项式阶.
[硕士论文] 黄思敏
基础数学 广西大学 2018(学位年度)
摘要:所谓树突(Dendrite),就是一个紧致连通的且局部连通无简单圈的一维拓扑空间.近些年来,许多学者研究了树突空间上连续自映射的动力学性质,得到了很多有意义的结果.本文主要对一类具有唯一分支点的树突空间上连续自映射的逐点链回复性进行了研究.具体地,对n≥1,定义Dn={r·eiθ:θ=π/4n,0<r≤1/2n},D-n={r·eiθ:θ=π-π/4n,0<r≤1/2n},并记D*=D*+∪D*_∪{o},其中D*+=∪∞n=1Dn及D*_=∪∞n=1D-n.
  本学位论文中,探究树突上唯一分支点不是不动点的逐点链回归映射.具体地,如果f:D*→D*为树突D*上的逐点链回归映射,且o为D*上的唯一分支点,则以下结论成立:如果f(o)∈Di,则存在正整数n0,使得当|n|>n0时,有f(Dn)(c)Di,且存在o1,z∈Di使得f(o1)=o,f(z)=z,并且下列情形之一成立:(1)若f-1(z)={z},则f2为恒等映射或者f2含湍流;(2)若f-1(z)≠{z},则存在j≤2n0,使得fj为恒等映射或fj含湍流.
  另外,还探究树突上唯一分支点为不动点时的逐点链回归映射.具体地,如果f:D*→D*为树突D*上的逐点链回归映射,且o为D*上的唯一分支点满足f(o)=o,则以下结论成立:(1)若f-1(o)={o}.对任意的i∈(N),令Ai={j:(3)m∈(Z)使得fm(Dj)(c)Di},Bi={j:(3)m∈(Z)使得fm(Di)(c)Dj}.则下列情况之一成立:(i)若Ai,Bi均为无限集,则limn→∞fn(Di)=limn→∞f-n(Di)={o};(ii)若Ai为无限集,Bi是有限集,limn→∞f-n(Di)={o},则存在j0∈Bi以及正整数0<k≤|Bi|使得fk(Bj0)=Bj0,并且fk|Bj0为恒等映射或者含湍流;(iii)若Ai是有限集,则Bi也是有限集,且fk(Bi)=Bi,fk|Bi为恒等映射或者含湍流,其中k=|Bi|;(2)若f-1(o)≠{o},则下列情况之一成立:(i)若存在正整数N,使得当|n|>N时,有Dn(∈)P(f)则存在正整数0<k≤2N使得fk含湍流或者fk为恒等映射;(ii)若存在|ni|→∞,使得Dni(c)P(f)则存在正整数k使得fk含湍流,或者对任意的x∈Dni,limn→∞f-n(x)={0}.
[硕士论文] 阮小林
数学;基础数学 南京师范大学 2018(学位年度)
摘要:拓扑结构在拓扑学研究中占有重要的位置.1997年,(A).Császár首先给出了广义拓扑的定义,且获得了它的一些很好的性质.自此许多学者开始了对广义拓扑的研究,并且得到了许多有用的结果.2013年,Y.K.Kim和W.K.Min在广义拓扑的基础上定义了σ-结构,在σ-开集的基础上讨论了σ-结构的一些性质,并且得到了一些有趣的结果.本文在上述研究的基础上进一步研究了σ-结构中的新分离性及σ-结构中的弱分离性,并且研究了它们的相关性质.具体来说,
  在第一章里,介绍了σ-结构产生的背景、研究发展概况,同时介绍了论文中所用到的主要定义定理和有关的符号.
  在第二章里,首先在σ-空间的基础上定义了gσ-闭集、σ-内核、λσ-闭集,在此基础上又定义了σ-T1/2空间、σ-T1/4空间、σ-T3/8空间、σ-T3/4空间,并且进一步研究了新分离性的性质.
  在第三章里,在σ-空间的基础上定义了σ-R0空间、σ-R1空间以及弱σ-R0空间,并且进一步研究了弱分离性的性质.
[博士论文] 张恺
基础数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:纽结理论是研究圆周在空间中的嵌入,它的基本问题是将纽结在空间的合痕意义下进行分类。纽结理论是在19世纪后期开始系统的发展起来的,并且在过去的40年里得到了飞速的发展。1937年,Wendt介绍了纽结理论中最著名的局部变换,crossing change。每一个链环都可以通过crossing change简化为平凡链环,这一结论在纽结研究中有广泛应用。例如Jones多项式和三维流形的Reshetikhin-Turaev不变量的构造都可以与crossing change联系起来。这些不变量的出现对现代纽结理论的研究影响巨大。Crossing change是一种特殊的局部变换。纽结的局部变换是将纽结的一个tangleT1用另外一个tangle T2替代。纽结的局部变换在纽结理论中有着重要的应用。2002年,Hirasawa和Uchida介绍了纽结crossing change的Gordian复形。本文研究了纽结其它局部变换的Gordian复形。主要工作如下:
  1.构造了一种新的纽结局部变换,称为(#)-move,并研究了它的性质。
  2.研究了H(n)-Gordian复形的性质。我们证明了,对于任意纽结K0,存在一列纽结{K0,K1,…},使得对任意的i≠j和所有的n≥2,都有(#)-move-Gordian距离d(#)(Ki,Kj)=1和H(n)-Gordian距离dH(n)(Ki,Kj)=1。
  3.对n-Gordian复形的性质进行了研究。我们证明了,若n是偶数,那么对任意纽结K'0,存在一列纽结{K'0,K'1,…},对任意的i≠j,都有n-Gordian距离dn(K'i,K'j)=1和pass-move-Gordian距离dpass(K'i,K'j)=1。
[博士论文] 刘永楠
基础数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:Finsler几何是微分几何的一个重要分支.20世纪90年代以来,在陈省身先生的推动下,Finsler几何的研究有了很大的发展.近年来Finsler子流形的研究越来越受到重视,成为Finsler几何中的研究热点.本文主要研究了三维和四维Finsler空间中几类极小曲面的结构和性质以及一类S2上的二维Randers度量的S-曲率的性质.
  首先,研究了非Minkowski的4维广义(α,β)-空间(M4,F)中,由单参数子群作用在一条曲线上而生成的旋转曲面等几类曲面.给出了其中两类曲面在特殊度量下极小性的完整刻画,并对另一类极小曲面的渐近行为进行了研究.此外,还构造了(M4,F)中的一类直纹超曲面,并研究其极小性.
  其次,研究了一类3维Randers空间(V3,F)中的极小曲面.求解了Souza和Tenenblat在文献[1]中给出的描述绕Ox3轴旋转的极小旋转曲面的方程,得到了此类3维Randers空间中极小旋转曲面的显示表达式,并且讨论了其母线的凸性和渐近性.此外,还研究了该空间中极小平移曲面的存在性,并且证明了该空间中的极小平移曲面只有平面.
  最后,研究了一类由S2上标准Riemann度量的平面表示H,通过导航问题所得到的Randers度量.在以任意向量场v=(kx+ly,-lx十ky)为外力的条件下,给出了此类Randers度量的具体表达形式,并且得到了它的S-曲率的性质.通过与由特定向量场v=(y,-x)所得的Randers度量的S-曲率(参见文献[2])作比较,我们得到了S-曲率的迷向性与外力向量场参数k之间的关系.
[硕士论文] 王飞
计算数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:给定三维曲线网格(线框模型),构造插值该网格的曲面是几何建模中的一个基本的问题。另外,曲率线是曲面上一类很重要的曲线,可以指导曲面分析,广泛地应用于几何设计、形状识别以及曲面绘制等领域,是曲面的一种内在的几何特征,具有良好的几何特性。本文基于插值线框模型的曲面构造这一基本问题,将带有良好性质的曲率线运用到该问题中,提出了插值曲率线与特征线的B样条曲面构造方法。利用该方法生成的曲面不仅具有高阶光滑性,而且该方法又是局部构造的。在具体地实施时,不需要进行附加的拼接操作,攻克了传统的几何建模技术在进行各个曲面片间的拼接时,巨大的计算复杂度和内存存储以及难以准确地保证曲面光滑性的难题。
  本文第二章首先介绍了B样条曲线曲面、B样条函数乘积,曲面G1连续拼接以及曲率线的相关理论知识,为后续的研究工作提供理论的支持。不过曲面的曲率线的计算是求解非线性微分方程,过程复杂且计算量大,因此借助Weingarten映射给出了B样条曲面的曲率线条件,该条件仅仅是关于曲面基本型的关系式,避免了非线性微分方程的复杂求解过程。
  第三章给出了插值线框模型的曲面构造的新方法:插值曲率线与特征线的B样条曲面构造,是一种局部构造格式的方法。该方法首先对输入的三维线框模型进行B样条曲线拟合,获得需要的边界曲线网。然后,修正边界曲线网,确定所有的约束条件,包括顶点G1连续拼接条件、边G1连续拼接条件以及插值曲率线条件,并将其转换为相应的B样条曲面的控制顶点约束。最后,对每个面片通过求解带约束的薄板样条能量模型得到最终的曲面。基于上述过程最终将插值线框模型的曲面构造问题转化为一个求解带约束条件的二次规划问题。
  最后,在第四章对文中的研究工作做了一个总结,同时指出了文中新方法的优势以及存在的缺陷,并对未来的工作做了展望。
[硕士论文] 王楚仪
基础数学 华中师范大学 2018(学位年度)
摘要:对于有正Picci曲率的黎曼流形N,任一闭的超曲面M可以将N分成两个连通区域Ω1和Ω2,使得(a)Ω1=M=(a)Ω2.本文主要研究当M为凸超曲面时,在Ω1上的Laplace算子△的第一特征值估计,Ω2上的情况同理可证.
  本文主要工作为:利用[13]中的方法对引理1.5重新证明,并补充证明了混合边值条件下的结果,即N为n+1维黎曼流形,其Ricci曲率Ric(N)≥nK,M为N内紧致无边可定向连通光滑嵌入超曲面,M将N分成两个连通区域Ω1和Ω2,使得(a)Ω1=M=(a)Ω2,记λ1为Ω1上的Laplace算子的第一特征值,则混合边值条件下的第一特征值有下界λ1≥(n+1)K.
  定理1.8利用球面上的Picci恒等式证明了在n+1维球面Sn+1(1)上,第一Dirichlet特征值λ1≥2(n+1),本文将证明过程做了一点改进,首先在黎曼流形上进行特征值估计,最终将球面曲率代入黎曼流形的不等式估计中,最终可以得到同样的结果.
[硕士论文] 杜娟
应用数学 华中师范大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要通过活动标架法计算第二基本形式的拉普拉斯算子,并主要研究第二基本形式模长平方与子流形全测地之间的关系,具体内容包括:
  第一章介绍子流形几何的研究背景、研究意义,以及国近几年内外学者对于这方面的研究状况.通过对研究背景及研究现状的深入分析,并阐述本文研究主要问题。
  第二章介绍黎曼流形基本概念、符号及一些相关引理,第一部分在外围空间为常曲率黎曼流形时,计算第二基本形式的拉普拉斯算子,给出极小子流形全测地的一些结论;第二部分将外围空间推广到拟常曲率黎曼流形,利用相似的方法计算第二基本形式的拉普拉斯算子,并推广出极小子流形全测地的结果。
  第三章介绍复射影空间的基本概念和符号,在外围空间为常曲率复射影空间时,计算法丛平坦的Kaehler子流形的第二基本形式的拉普拉斯算子,并得到一些结论。
  第四章总结全文并作出展望.
[博士论文] 张明威
基础数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:伪射影平面是与复射影平面有相同的Betti数但与复射影平面不同构的紧复曲面。Mumford构造了第一个伪射影平面的例子。他先用p-adic单值化方法构造了一个Q2上的光滑代数曲面,即Mumford伪射影平面。由于Q2的代数闭包和C同构,取定一个同构,通过基扩张得到的复Mumford伪射影平面是一个伪射影平面。我们主要研究Mumford伪射影平面上零维代数闭链的周群和复Mumford伪射影平面上点的有理等价关系。
  本论文主要分成两部分。在第一部分,首先介绍了Mumford伪射影平面的构造。具体来说,Mumford伪射影平面是由一个Spec(Z2)-概型M给出,M是通过代数化2-adic单位球对PGL(3,Q2)的某个离散余紧无扰子群Γ作用的商得到的,其中2-adic单位球是一个Spec(Z2)-概型X在特殊纤维处的完备化。我们通过PGL(3,Q2)相伴的仿射Bruhat-Tits建筑构造了X,并给出了X的局部结构。此外我们用万有性质给出了X的一个等价刻画,并利用这个等价刻画给出了PGL(3,Q2)在X上的作用。还得到了Γ的一个指数为3的正规子群,这个子群对应于三次非分歧伽罗华覆盖W→M。
  论文的第二部分利用第一部分的结果研究Mumford伪射影平面上零维代数闭链的周群。具体来说,我们首先证明了W是半稳定的,并利用Saito-Sato的工作计算得到了W周群的一个具体公式。结合覆盖映射诱导的周群同态以及周群的局部化序列,我们证明了Mumford伪射影平面上零维代数闭链的周群的度为0的子群是2'-可除的。此外,Mumford伪射影平面还有一个八次的非分歧伽罗华覆盖空间V,我们研究了它的周群结构。由于V上有一个PSL(2,F7)的群作用,我们可以把V的周群看成是PSL(2,F7)的一个表示空间。利用有限群表示的理论,我们证明了V的周群的一个结构定理。最后我们研究了复Mumford伪射影平面上点的有理等价,证明了复Mumford伪射影平面上存在三个两两有理等价的点。
[硕士论文] 王灵
基础数学 华中师范大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要通过单位球面Sn+1中的紧致极小超曲面的第二基本形式理论来研究S的间隙现象.具体内容包括:
  第一章介绍论文的研究背景、研究意义,以及国内外学者对于这方面的研究状况.通过对研究背景及研究现状的深入分析,充分说明我们研究工作的必要性.
  第二章介绍本文涉及到的基本概念、符号以及Sn+1和Mn的结构方程,根据结构方程得到了第二基本形式张量hij的各阶共变导数及指标变换公式,并且计算了第二基本形式的拉普拉斯算子和一些基础引理.
  第三章介绍了当S为函数时间隙常数的最好估计,得到关于∑h2ijkl和A-2B的估计,证明了当S为函数的间隙现象.
  第四章介绍了当S为常数时间隙常数的最好估计并进行了证明.
  第五章作了进一步的讨论.当我们加了限制条件:若∫(Sf4-f23-S2)dM≤c∫S2(S-n)dM时,对于常数-1<c<1/n+2/3,关于S的第二间隙可以得到,存在正数δ(n)=2n+3(1-nc)/3(1+c),使得当n≤S≤n+δ(n)时有S=n.特别地,当c=1/2时,δ(n)=1/9n+2/3;当c=1/n时,δ(n)=2n2/3(n+1).
  对于常数-1<c<1/2n,假设S的第二间隙为[n,2n],对S第三间隙的估计.即存在正数δ(n)=1-2nc/1+c,使得当2n≤S≤2n+δ(n)时有S=2n.并且对这个限制条件∫(Sf4-f23-S2)dM≤c∫S2(S-n)dM何时成立进行了探讨.
[博士论文] 赵岩
基础数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:三维流形拓扑理论主要研究三维流形的拓扑性质和结构。通常,利用三维流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可压缩曲面、正则曲面等)来研究三维流形的拓扑性质和结构是行之有效的重要方法。
  柄体是3-流形的基本块。每个闭三维流形均可以表示成两个等亏格柄体沿其边界的并,这就是三维流形的Heegaard分解。Heegaard分解理论是研究三维流形的重要的方法。
  柄体中存在一组真嵌入的互不相交的圆片,使得沿这组圆片切开该柄体得到一个实心球。本文考虑柄体的一种一般化的一类三维流形。设M为一个可定向有单边界分支S的不可约三维流形。若M中存在一组真嵌入的互不相交的可定向单边界曲面F={F1,…,Fn},使得(a)F(C)S是S上一个完全曲线系统,并且沿F切开M得到三维流形M0,则称F为M的一个完全曲面系统,称M为具有完全曲面系统F的三维流形,并记作(M,F)。
  本文对具有完全曲面系统的三维流形进行了深入研究,得到了这类三维流形的若干性质。主要结果如下:
  1.对于具有完全曲面系统的三维流形(M,F),讨论了M上完全曲面系统的等价性。对于边界可约的这类三维流形,给出了M的完全曲面系统与边界极大压缩圆片集之间的关系,证明了该类三维流形具有保持完全曲面系统的边界连通和分解的性质。
  2.对于S3中具有完全曲面系统的子流形,证明了其完全曲面系统在等价意义下的唯一性;对于S3中的边界可约的子流形,利用把柄添加,重新嵌入和边界压缩的理论,讨论了流形的压缩圆片集与补空间的柄体的压缩圆片之间的关系,给出了三维流形的完全曲面系统与纽结的Seifert曲面之间的联系。
  3.证明了S3的具有完全曲面系统的三维子流形的映射类群是其边界曲面映射类群的柄体子群的一个子群。
  4.讨论了S3中的边界链环与S3中的具有完全曲面系统的三维子流形之间的联系。
[硕士论文] 马学才
数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:在整个人类的文明历史发展中,数学是被研究时间最长的学科。而其中关于整数和方程的性质,更是两千多年来一直吸引无数智者的问题。而作为方程零点集的代数簇,通过研究它们的性质可以得出许多强大的定理。而上个世纪,在法国的天才数学及亚历山大.格罗滕迪克的带领下,人们提出了所谓的概型的概念,它是代数簇的概念的更加抽象和一般的推广,建立在层的语言之上。自从有了概型的语言,整个代数几何的面貌焕然一新,在这中新的语言下,人们解决了许多重要的问题,比如困扰数学家们三百多年的费马大定理,被怀尔斯证明,以及莫德尔猜想被德国数学家法尔廷斯证明,这些无不显示了代数几何的强大。
  我们知道同调群是一类重要的几何不变量,其在代数拓扑中非常重要。同样的在代数几何中,研究层及概型的上同调也是非常的重要,在代数几何中,上同调群也是非常的重要。我们知道有几种定义上同调的方式,比如整体截而函子的右导出函子,还有所谓的平展上同调,我们将在本文中介绍一种新的上同调,即所谓的晶体上同调。它在研究所谓的特征p的域k上的概型的时候,特别有用。本文第一章主要介绍一些代数几何的基础知识,包括代数簇,层和概型的基本定义和性质以及层的上同调。第二章主要介绍除幂结构,晶体上同调的定义,以及如何用更加范畴语言来叙述晶体上同调。
[硕士论文] 江越
基础数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:在复几何和代数几何中,复流形上全纯向量丛的消没定理扮演着一个非常重要的角色.其中最经典的是1953年的Kodaira消没定理,而其根源可认为是源于Riemann和Roch在曲线情形上的成果或者Picard在曲面情形上的成果.在Kodaira之后,很多数学家对消没定理进行了各种推广.在复几何中,消没定理的推广主要在三个方面.一是底流形的不同,二是向量丛的正性条件,三是向量丛的不同.
  本论文是综述性文章,主要总结消没定理的成果和进展.本文第一章是对一些复几何和代数几何中的基本知识的介绍.后面分三个部分介绍消没定理.第一部分按照时间顺序叙述经典的消没定理.同时在这一部分介绍并运用Bochner-Kodaira-Nakano恒等式给出一些消没定理的证明.第二部分是研究向量丛的消没定理,也是消没定理最主要的部分.这一部分先介绍几种正性条件的定义和相互关系.然后我们介绍向量丛在三种不同底流形下,以及不同正性条件下的消没定理.对于特殊向量丛的情形,我们考虑两种情况.一种是向量丛的伴随丛,即向量丛的张量积和对称幂.另一种是有界向量丛的情形.第三部分介绍向量丛的截面的消没定理,即在一定条件下,向量丛的截面关于联络平行.这一部分我们研究两种情形,一种是紧Kahler流形的情形,另一种是Higgs丛的情形.
  本文介绍不同流形上各种正性条件下的消没定理,结合近期产生的新结果期望得到一个比较全面的总结.
[硕士论文] 杜佳宾
基础数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:本文是一篇关于复数域C上的光滑射影曲面的双有理分类的综述性文章。本文按照文献[10]的思路,采用Mori纲领的方法来重新阐述光滑复射影曲面的双有理分类结果。对于任意的射影曲面,利用典范丛是否nef,对MMP的输出结果,进行进一步的分析。当Kodaira维数为-∞时,我们得到一个2维Mori纤维空间,由Mori纤维空间的性质,我们知道它只可能是有理曲面或直纹曲面。当Kodaira维数大于等于零时,我们可以得到一个唯一2维极小模型。利用Iitaka纤维化,这自然提供给我们一个从极小模型到典范模型的态射。当Kodaira维数为零时,利用多亏格的限制和此时第二陈类的非负性,不规则性和几何亏格的取值只有五种可能。然后证明了这五种情况事实上只存在四类曲面,即Enriques曲面、K3曲面、Abel曲面和双椭圆曲面。当Kodaira维数为1时,利用Iitaka纤维化提供的态射和平展覆盖,我们证明了此时曲面是椭圆曲面,即存在一个椭圆纤维化。当Kodaira维数为2时,这种曲面称为一般型曲面,它的典范丛的自相交数与Euler-Poincaré示性数要满足一些条件的限制。最后,我们给出了各类曲面的一些具体的例子。
[博士论文] 徐琳琳
计算数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:几何建模于20世纪70年代中期发展起来,它将形体的描述和表达建立在几何信息和拓扑信息上,是把现实世界中的物体及其属性转化为计算机内部可数字化表示、分析、控制和输出的几何形体的方法,即计算机系统环境下物体的三维表示、设计和显示。物体三维表示中的曲线曲面拟合是计算机图形学、计算机辅助几何设计、计算机视觉、计算机动画和数字内容创作等领域的基本问题和关键问题,是曲线曲面建模的一个重要研究课题,也是CAD系统的一个重要组成部分。作为一种古老而常用的数据处理与分析的数值方法,曲线曲面拟合已被逐步推广到多个领域,成为工程、实验、统计、计算机图形等许多实际工程中的共性问题,并取得了极大成功。本文以稀疏表示技术作为工具,讨论了曲线曲面拟合建模的若干问题。
  信号的稀疏表示是20世纪90年代初提出的一种新兴的信号表示方法,从2004年压缩感知提出之后,稀疏表示理论很快在信号和图像处理中发展起来,成为信号处理的有效工具,在人脸识别、图像去噪、图像修复、特征提取等领域都有很重要的意义。因此,稀疏表示技术吸引了很多学者的关注,并将稀疏表示相关技术应用到几何建模的很多问题中。然而,几何信号是定义域不规则的二维流形,不能将图像中的方法直接推广。为了对几何建模问题中稀疏表示技术有更清晰的理解和认识,从稀疏正则化、字典学习和低秩表示三个方面介绍了相关工作的使用方法和稀疏表现,其对异常值的鲁棒性、对尖锐特征的保持能力等突出表现了较其他启发式方法的优越性。
  曲线曲面拟合中,参数化表示具有易于绘制、易于确定曲线曲面上点的位置等优点,是形状数学描述的标准形式,但是,曲线曲面本身并没有特有的而且固定的参数化,对参数化的依赖性很大程度上影响了拟合效果。针对这个问题,试图对参数化进行优化,使曲线曲面拟合问题摆脱对参数化的依赖。基于这种考虑,将参数化优化耦合到稀疏表示中,得到了复合的稀疏表示方法,提出了曲面拟合的一个全局的约束优化问题。由于同时求解稀疏的组合系数和参数化会大大增加该问题的求解难度,利用增广拉格朗日(ALM)方法的思想对原问题进行改进后,利用交替方向乘子法(ADMM)迭代更新所有变量。本质上,参数化优化是从输入的几何曲面上进行学习的过程,最终为预定义的基函数找到最优的参数化。我们的方法不仅有效地克服了现有方法的过拟合问题,即使在多项式基函数下,非光滑(尖锐)特征也被很好地表示出来。实验结果表明,复合稀疏表示方法可以逼近各种带有不同程度尖锐特征的曲面,充分说明了它在曲面拟合、点云重建等不同应用中的有效性和在几何建模问题中的潜能。从深度学习的角度来看,复合方法是只有两层网络的多层表示,一层是参数优化,一层是基函数的线性组合。从多层表示的性质也可以理解为什么我们的方法更有效。针对很多有趣且有挑战性的几何建模问题,还可以进行深入的挖掘,找到更多可以用多层表示来解决的问题。
  与曲面拟合工作不同,曲线拟合中,用数控机床刀具轨迹设计中常用的圆弧样条逼近有序的数据点序列。圆弧样条通常希望圆弧段数尽可能少,相邻两段圆弧满足G1连续。现有很多方法都是启发式地搜索相邻圆弧间的连接点,如何设计算法自动检测出连接点一直是个有趣的研究课题。由于圆弧样条的曲率是分段常值的,其梯度只有在相邻圆弧的连接点处是非零的,也就是说,大部分曲率的梯度值都是零,这种完美的稀疏表现自然可以用稀疏表示技术进行相关处理。因此,利用该稀疏性,首先用稀疏表示方法检测出曲率变化非零的连接点,对圆弧样条进行初始化,但是这个全局的初始逼近结果可能不满足G1连续的性质,又对连接点的位置做进一步调整。最终,经过全局的初始化和局部的修正处理,得到了令人满意的圆弧样条逼近结果,不仅满足了G1连续的要求,也将圆弧段数进行了重新优化。将自己的方法与其他启发式方法进行了比较,结果充分显示了对连接点的自动检测能力的优越性,优化出的圆弧段数和逼近误差也说明了新方法具有更好的逼近能力,以及对对称性的敏感性。当然,优化过程中所有的变换矩阵都是利用输入的数据点序列近似计算的,逼近结果也自然依赖于输入数据的密集程度,所以,找到新的变换矩阵的计算方法是非常有意义的研究内容,将本文的思想推广到其他问题中也是很有前景的研究方向。
[博士论文] Sakander Hayat
Applied Mathematics 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:This thesis focuses on two problems in spectral graph theory known as graphs with few eigenvalues and spectral characterization of graphs The first problem is studied with respect to the adjacency matrix,Seidel matrix,generalized adjacency matrix and distance matrix.The second problem is studied for the distance matrix.This thesis is organized as follows:
  In Chapter1,we discuss the origin and motivation of few eigenvalues and spectral characterization problems.These problems are discussed in details for different matrices related to graphs.In order to understand their importance,known results in these directions are provided.A short summary of the main results m this thesis is provided.
  Chapter2focuses on defining all the necessary terminologies and concepts Certain important concepts,such as interlacing and equitable partitions of graphs,are described.We give a slightly more detailed proof of the characterization of graphs with two generalized adjacency eigenvalues,which was essentially shown by Haemers&Omidi.
  Chapter3studies graphs with few main and plain(adjacency)eigenvalues.The first part focuses on graphs with exactly two(adjacency)main eigenvalues Besides constructing certain infinite families of these graphs,we show that the number of distinct valencies and the diameter for this class of graphs are unbounded.Regular two-graphs i.e.graphs with two distinct(Seidel)eigenvalues are used to show the main results.In the second part,we characterize graphs with r main and s plain(adjacency)eigenvalues,where r+s≤3.The main result of this part is the characterization of disconnected graphs with two main and two plain(adjacency)eigenvalues We provide certain infinite families of examples of these graphs.
  In Chapter4,we study graphs with three distinct generalized adjacency eigenvalues.The structure of these graphs within a non-trivial regular two-graph is determined Certain parametric conditions are determined for cones over strongly regular graphs such that they have three distinct generalized adjacency eigenvalues.Several constructions of these graphs are provided.
  Chapter5is dedicated to the distance spectra of connected graphs.Some results are obtained for connected graphs with three distinct distance eigenvalues.For example,we characterize connected graphs with three distinct D-eigenvalues such that the largest is non-integral.The main result shows that the hypercubes are determined by their distance spectra.
  In Chapter6,we give several open problems which have arisen from the study in this thesis.
[硕士论文] 秦雨果
基础数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:在这篇论文中,我们研究环面凯莱流形上Laplace-Beltrami算子△的等变特征值。具体来说,对任何环面群Tn的整数权α,我们考虑算子△在环面群作用下权为α的函数空间上的限制。我们首先构造了具有相同等变特征值但不等距的流形。然后证明了,对任何环面凯莱度量和任何的α,第一特征值λα1都是单的。我们还证明,对于一个固定的辛环面流形,如果将λα1视为其上所有相容环面凯莱度量的泛函,那么λα1没有任何临界点,并且也没有任何上界。最后我们证明,如果限制在具有一致数量曲率界的环面凯莱度量类里,λα1是有上界的。
[硕士论文] 王子洋
计算数学 合肥工业大学 2018(学位年度)
摘要:过渡曲线是指连接两曲线的中间曲线,虽看似简单,实则用途巨大,比如它在公路和铁路轨道路径设计、齿轮轮廓线的设计等工业领域都有广泛的应用。一些传统螺线,如回旋线、Bloss螺线等,是过渡曲线最原始的工具,但由于它们的参数表达式大都含有Fresnel积分,在实际应用中,只能通过数值求解,比较不便。为了解决此问题,早期有学者用Bézier过渡曲线和PH过渡曲线去代替它们,近年来,随着类Bézier曲线造型理论的发展,用类Bézier曲线代替传统螺线作为实际应用中的过渡曲线的研究成为热点问题。
  本文基于三次T-Bézier曲线和三次H-Bézier曲线,在两圆弧间构造了曲线形状为S形和C形的三次T-Bézier过渡曲线和三次H-Bézier过渡曲线。对于两圆弧间三次T-Bézier过渡曲线,首先是构造了一条起始点曲率为零的三次T-Bézier螺线,然后用一对该螺线在两圆弧间作过渡。由于该螺线的始末点处曲率关于弧长的导数都为零,可以很好的取代Bloss螺线作为高速道路线形设计中的过渡曲线。对于两圆弧间三次H-Bézier过渡曲线,是用一段三次H-Bézier曲线在两圆弧间作过渡,这相比用一对螺线作过渡,方式更加简单。另外,出于曲线光滑性要求的考虑,分别给出了两圆弧间S形过渡曲线曲率单调递减和C形过渡曲线含有一个曲率极值点的充分条件,并给予详细推导过程。结论中发现,两圆弧间该段S形H-Bézier过渡曲线满足曲率单调递减的两圆半径比的限制范围和之前其他文献中的过渡曲线相比,可以取得更大,应用价值更高。
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