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[硕士论文] 孙林林
应用数学 北京交通大学 2018(学位年度)
摘要:本文的研究内容有两部分.第一,给出了一类分数阶离散交通流模型,利用参数自适应方法设计了同步控制器,得到了同步判别准则,并通过数值模拟,验证了理论分析的正确性及可行性.第二,在考虑了外界干扰以及系统不确定性的基础上,研究了两个不同维数连续系统的同步问题.首先使用反馈控制和滑模控制两种方法使得系统达到有限时间同步,通过对比证明了滑模控制对于外界干扰有更好的鲁棒性.然而由于有限时间同步会随着初始值的增加,造成其收敛时间逐渐变大,即收敛时间依赖于初值,所以又研究了滑模控制的固定时间同步问题.固定时间同步使得其收敛时间有一个上界,不会随着初值的变化而持续增加,在现实中比有限时间同步有更广泛的应用.在数值模拟中以Lorenz混沌系统和Lorenz超混沌系统为驱动-响应系统,验证了不同维数系统的有限时间同步与固定时间同步,以及滑模控制固定时间同步的优越性.
  本文接下来的组织如下:
  本文第一章主要介绍论文研究现状,主要内容以及创新点.
  本文第二章主要提出分数阶离散交通流模型,研究其动力学性质,利用参数自适应方法设计同步控制器并推导出其同步判别准则,最后数值模拟验证.
  第三章主要是在考虑了外界干扰的基础上提出两个不同维数的连续系统.首先,运用滑模控制和反馈控制两种方法进行对比,证明滑模控制对干扰有更好的鲁棒性.其次为克服滑模控制有限时间同步依赖于初始值的局限性,研究了滑模控制的固定时间同步问题.最后数值模拟验证理论正确性.
  第四章对本文的工作进行总结,并对接下来的工作进行展望.
[博士论文] 赵操
数学;基础数学 南京师范大学 2018(学位年度)
摘要:设(X,d)是紧致度量空间,T:X→X为连续映射,则称(X,d,T)为拓扑动力系统。动力系统主要研究连续映射轨道渐近性质,通常利用拓扑熵、拓扑压、混沌和Lyapunov指数等来刻画这种轨道性质。动力系统轨道的回复性是动力系统研究的重要课题,它与数论,分形几何,微分方程等学科有着深刻的关联。我们把重点放在动力系统中度量丢番图逼近问题相关回复性质的量化研究,也就是利用拓扑熵,拓扑压,Hausdorff维数等来对动力系统中的回复行为,收缩靶问题进行量化的研究。
  本文主要利用动力系统中的轨道跟踪性质来构造Moran分形集来刻画动力丢番图集合占系统的比重。在重分形分析的观点来看,是研究一类具有一定的回复、收缩行为的度量丢番图逼近水平集。第一章主要是推广了Bosher-nitzan的关于定量回复的结果到半群作用的动力系统;第二章,研究满足非一致结构的子位移系统中的回复行为,给出了关于回复的动力丢番图的水平集的Hausdorff维数的估计;第三章,研究非一致系统的的饱和集并建立了相应的条件变分原理;第四章,定义了一类新的水平集刻画拓扑混合有限型的发散点集中的回复性;第五章,对于具有specification性质的一般拓扑动力系统,我们对收缩靶问题进行抽象处理,给出了有规定跟踪时间的收缩靶集合的定量估计。这可以看做是一类非符号形式、关于收缩靶问题的一类水平集集。第六章,证明一般拓扑动力系统中轨道非稠密集是满拓扑压的。
[硕士论文] 陈微
控制科学与工程 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:许多动力系统具有可变结构,这是由于突然的环境干扰、错误的通信链接和组件故障等因素造成结构的随机突变,而一般的动态系统不能处理这些随机突变。众所周知,涉及时间演化和事件驱动的马尔科夫跳跃线性系统可以有效地建模这些问题。最近,马尔科夫跳跃线性系统引起了广泛的关注,其研究具有重要的理论意义和实际价值。
  马尔科夫跳跃线性系统是一类具有多个模态的跳跃系统,其中各模态间的随机切换通过马尔科夫链描述。作为一个关键因素,马尔科夫跳跃线性系统中各模态的切换概率在很大程度上会影响系统的行为,而切换概率在连续时间和离散时间马尔科夫跳跃线性系统中分别由模态转移速率矩阵(Mode Transition Rate Matrix,MTRM)和模态转移概率矩阵(Mode Transition Probability Matrix,MTPM)决定。需要注意的是大多数已有结果是在假设系统运行过程中MTRM、MTPM为定值的前提下得到的,然而在许多以马尔科夫跳跃线性系统为模型的实际系统中,MTRM、MTPM可以通过科技手段进行调整甚至控制。本文针对MTRM、MTPM可控的马尔科夫跳跃线性系统,研究模态反馈控制策略。采用模态反馈控制策略,可以调整各模态的出现概率。然后由于每个模态的性能存在差异,从而实现系统的稳定性,并且达到更好的性能。具体研究工作如下:
  (1)针对具有可控MTRM的连续时间马尔科夫跳跃线性系统,提出了一种新颖的控制策略,旨在实现对MTRM的控制,而不是系统状态。通过连续时间马尔科夫跳跃线性系统的模态示性方程引入对MTRM的控制,给出了一个二次型稳定代价函数来衡量系统的性能,它是状态代价和控制代价的组合。考虑到在没有状态反馈控制器时,MTRM将完全决定马尔科夫跳跃线性系统系统的稳定性,分两种情形讨论模态反馈控制器的存在性,得到为确保系统稳定而产生的对模态反馈控制器的约束条件。基于给定的代价函数,得到模态反馈控制策略的可行解,同时给出详细的算法。
  (2)针对具有可控MTPM的离散时间马尔科夫跳跃线性系统,研究了模态反馈控制策略。从连续时间的情况下得到离散时间下的模态示性方程,并引入对MTPM的控制。利用给定的二次型稳定代价函数,推导出了模态反馈控制器,并讨论了其存在性以及可行域。该模态反馈控制器通过调整系统模态的发生概率,在保证稳定性的基础上降低稳定代价,将成为现有控制机制的有效补充。
  本文针对连续时间和离散时间马尔科夫跳跃线性系统,分别提出了模态反馈控制策略,给出算法来阐明寻找模态反馈控制器的步骤。通过包含与现有的状态反馈机制比较的数值算例以说明该策略的有效性。
[硕士论文] 郭志飞
数学 浙江师范大学 2018(学位年度)
摘要:规范型理论是化简非线性动力系统的重要工具,在动力系统分叉问题研究中被广泛应用.它的关键思想就是通过构造可逆非线性坐标变换,将所要研究的非线性动力系统化简为便于后续分析的尽可能简单的系统.所得的简单系统就称为原系统的规范型,它为研究原系统的局部分叉性质提供了极大的便利.另一方面,由于规范型计算的复杂性,通常只能获得有限阶的规范型.由于规范型截断部分的影响不能忽略,所以我们需要考虑规范型截断系统的余维数和通有开折.
  前人对动力系统规范型的研究,大量工作都是针对平衡点处线性化部分不恒为零的动力系统,经典Hamilton系统作为一类具有特殊结构的动力系统,其规范型理论和余维数为2的系统有很多研究,但对线性化部分恒为零的退化经典Hamilton系统的规范型以及余维数为3的系统的研究相对较少.
  本硕士论文主要研究线性化部分恒为零的退化平面经典Hamilton系统的规范型.对这样的退化系统,经典的Poincaré规范型理论将失效.首先我们用线性辛变换导出了该退化系统的二阶规范型,接着再用近似恒同非线性辛变换化简三阶项,得到了不同条件下的三阶规范型.然后我们证明了当该退化系统的二阶系数满足△g≠0,该退化系统的余维数为3.如果该退化系统的二阶系数hij(i+j=3)不全为零且△g=0,则相应的退化系统的余维数为4.最后,我们给出上述各种情形下的通有开折,并分析通有开折的动力学分叉性质以及相关相图.
[硕士论文] 王丽庆
应用数学 浙江师范大学 2018(学位年度)
摘要:逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的科学,起源可以追溯到古希腊学者亚里士多德。1847年,英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》一文,建立了“布尔代数”并且创造了相应的符号系统,利用符号表示逻辑中的各种概念,利用代数的方法研究相应的逻辑问题,初步奠定了数理逻辑的基础。网络在数学上可以定义为一种图,由节点和连线构成,点代表状态,线一般指关系。布尔网络,作为一种模拟基因调控网络的模型,最早由Kauffman在1969年提出。所有的状态点都在一个布尔集中选取,所有状态的更新都依赖相对应的布尔函数。
  布尔网络作为一种离散动力系统,早期对这门学科的主要研究工具就是图论。图论作为一门新兴的数学学科,在布尔控制网络中有最大的优势就是复杂度不高,但是,毕竟不是一种代数工具,它同时也给研究的问题带来局限性。而概率布尔网络是比布尔网络更复杂,对实际模拟问题更有效的一种模型。可以看成是服从一定概率分布的多个布尔网络的组合。而它的状态的更新则可以看成是服从马尔科夫性的状态的迭代。
  2009年,中国科学院程代展教授提出了一种半张量积矩阵的方法来研究布尔网络,为这门学科提供了一种代数的工具,也为布尔网络中一些经典问题提供了解决方案。本文的主要内容就是利用半张量积的方法研究概率布尔网络和概率控制布尔网络中一些经典的问题,论文的主要内容及创新点如下;
  第一章是预备知识,简要介绍了本文所用的符号表示,半张量积矩阵的定义和几何性质,并介绍了如何将逻辑函数表达成矩阵的形式,同时给出了概率布尔网络动力系统的代数表达式.
  第二章研究了如何利用采样控制器解决概率布尔网络的镇定问题.首先给出了对于概率布尔控制网络,采样控制器可设计的充分条件;其次,跟已有的状态反馈控制器进行了一个对比,包括概率布尔网络的状态反馈控制器和布尔网络的采样控制器,给出了优势;最后,在一个生物系统的实例中得到了应用。
  第三章研究了如何利用牵制控制器实现概率尔网络的镇定。考虑的系统本身没有控制器,因此需要寻找被控制的点以及如果加入控制器控制这些点是这章的主要内容。牵制控制器在布尔网络和概率布尔网络中有着质的区别,利用概率向量的特点,得到了牵制控制可镇定的充分条件。在可镇定的条件下,得到需要牵制的点,以及如何加入控制器到相应的概率布尔网络中控制考虑的系统。进一步,考虑了如何得到最少的牵制点的个数问题,该部分内容是本论文最突出部分。
  第四章研究了基于所有状态反馈控制器的概率布尔网络的全局优化问题。首先利用一个算法,找出来概率布尔网络的所有反馈控制器,这个结论包含了布尔网络所有反馈控制器的搜索算法。其次,基于所有可镇定的控制器,解决了一个全局镇定优化问题,充分减小了计算复杂度。
  第五章研究了对于一个概率控制布尔网络,依概率p可控和可达的问题。这是概率布尔控制网络特有的性质,但又可退化到布尔控制网络相应的结论。
  第六章主要研究概率布尔网络在博弈论中的应用,给出了基于更新规则的复制动态方程方程的布尔代数形式,探索一个最小牵制点的问题。
[硕士论文] 付海霞
基础数学 浙江师范大学 2018(学位年度)
摘要:在过去的几十年里,随着科学技术的进步和理论研究的不断深入,非线性问题已经受到人们广泛的关注.而非线性动力学的研究主要集中在分岔,混沌和孤子这三个方面,由于非线性方程的精确解很难得出,所以寻求近似解的方法变得至关重要.目前研究非线性问题的方法主要有摄动法、谐波平衡法、多尺度法、同伦分析方法等.
  本文主要研究了几类耦合非线性动力学系统的动态响应行为.第一章介绍了非线性动力学的研究背景以及同伦分析方法、多尺度方法和多频同伦分析方法应用于非线性系统的研究现状.第二章采用多尺度方法和同伦分析方法研究了具有参数激励van der Pol系统的主共振.首先研究了内共振比值不同时耦合系统的非线性动力响应.并用多尺度法得到了直角坐标系下的四维平均方程,从而发现系统存在周期运动;其次,利用同伦分析方法,得到四组周期解,其中两组正向周期解和两组反向周期解.最后,我们发现通过这两种方法得到的频率响应曲线是吻合的.第三章运用多频同伦分析方法研究二自由度非线性耦合Duffing系统.一方面,我们通过构造用多频同伦分析方法求解两自由度非线性动力系统的步骤,得到了Duffing系统单倍周期解和二倍周期解;另一方面,我们发现利用多频同伦分析方法得到的周期解和利用四阶Runge-kutta法得到的数值解是吻合的,从而,说明多频同伦分析方法是适用于二自由度耦合非线性系统的.第四章通过欧拉方法将Duffing方程转变成了离散非线性动力学系统,分析了其混沌行为.
[硕士论文] 刘蓉
应用数学 哈尔滨工程大学 2018(学位年度)
摘要:分支问题是无穷维动力系统的热门研究课题之一,其研究具有十分重要的理论意义及应用价值。
  本文利用算子半群理论、非自治动力系统理论以及无穷维动力系统中的分支定理等数学理论与数学方法,研究了一类非自治反应扩散方程中横越分支、干草叉分支的问题,得到了如下的创新性成果:
  1.利用算子半群理论和非自治动力系统理论,给出了一类非自治反应扩散方程的零解的吸引性与排斥性的充分条件,这些条件的给出,为一般性非自治反应扩散方程的横越分支、干草叉分支的研究奠定了理论基础。
  2.结合非自治系统的相关理论,证明了适用于一类非自治反应扩散方程中的横越分支和干草叉分支定理。理论结果表明,当系统参数发生变化时,系统的吸引域半径变为零,在一定条件下,此时该系统发生了横越分支。另一方面,随着系统参数的变化,在另外的条件下,该系统吸引域的吸引半径变为零,但此时系统经历了干草叉分支。
  我们把自治反应扩散系统的横越分支定理及干草叉分支定理推广到非自治系统领域。所得到的理论结果,有助于人们更加清楚地认识非自治反应扩散系统的横越分支和干草叉分支的形成机制。
[博士论文] 闫训甜
数学、基础数学 兰州大学 2017(学位年度)
摘要:动力系统描述了系统在相空间(状态空间)上随时间而演变的行为,如钟摆运动、星系运动、流体运动等.稳态方程是动力系统平凡的情况,即系统趋于静态或定常态,这时系统的解当时间t→∞时趋于平衡点.经典的变分方法是研究稳态方程的重要工具,但它局限于稳态方程本身.本文我们将动力系统理论引入稳态方程的研究,开辟了一条新的途径.
  自然界中的系统难免会受到随机扰动、随机环境、随机初(边)条件、随机输入等因素的影响.随机动力系统就是在随机因素影响下的复杂系统的适当的数学模型.它能够描述一些确定性动力系统所不能描述的复杂的现象,具有重要的实际意义.本文接下来就考虑一些随机偏微分方程的随机吸引子及其动力学行为.
  第一章介绍动力系统和随机动力系统的相关背景和进展,以及本文的工作和安排.
  第二章给出本论文要用到的一些基本概念和结果.
  第三章考虑了一类具有衰减位势的非线性椭圆方程的基态解.不用传统的变分方法,而是利用一个全新的动力系统的方法,通过相应发展方程的某些全局解有包含正平衡的ω-极限集来得到方程的正解.然后通过验证解在无穷远处是指数衰减的来说明它是基态的.这种方法不仅拓宽了稳态方程的研究思路,同时也推动了动力系统的发展.
  第四章用光滑逼近方法研究了非紧和紧的两类随机偏微分方程的随机吸引子.根据Wong-Zakai方案给随机偏微分方程一个扰动,利用光滑有色噪声逼近,而不是通常的多项式逼近.在建立了扰动系统的随机吸引子的存在性后,通过调用随机动力系统吸引子的一些连续性结果,证明了当有色噪声趋于白噪声时,扰动系统关于有色噪声的随机吸引子收敛于初始随机动力系统的随机吸引子.
  第五章考虑了一个带乘性噪声和确定性非自治力迫的随机反应扩散方程的解的大时间行为.利用一些新的技巧,首先建立初始时间附近解的差分的高阶可积性的一些新的估计.基于此,证明对任意δ∈[0,∞),通常的(L2(Q), L2(Q)) D-拉回随机吸引子的吸引确实可以被 L2+δ-规化,以及关于初始数据的 H10(Q)-连续性和H10(Q)中拉回随机吸引子的存在性.
[博士论文] 赵金星
基础数学 大连理工大学 2017(学位年度)
摘要:离散动力系统是一个由非空有限集X和定义在X到其自身的映射构成的.一个图称为动力系统的迭代图,如果顶点集为X,从a到b有边连接当且仅当f(a)=b,其中a,b∈X,且简记该图为G(X,f).特别地,当X是群或环并且映射f是k-幂方映射时,使用G(X,k)代替G(X,f),并称其为幂方映射图.迭代图的研究包含了图论、环论和数论等知识.在本文中,主要研究了有限群和有限非交换环上的迭代图.
  第一章,介绍了迭代图的研究背景和在其它领域的应用.
  第二章,首先考虑了有限群H的自同态定义的迭代图的基本性质,这些图有很强的对称结构.通过使用圈积,确定了这些图的自同构群.另外也考虑了离散动力系统何时是不动点系统的问题,即通过使用中国剩余定理和整数矩阵表示的自同态,给出了G(H,f)是不动点系统的充分必要条件.
  第三章,主要研究了有限域上2×2矩阵环R的k-幂方迭代图,即把这个图分解为两部分,一部分是奇异矩阵构成的图,另外一部分是由可逆矩阵构成的图.随后则给出了G(R,k1)与G(R,k2)何时同构的充分必要条件.本章的最后,研究了循环群的半直积的幂方映射迭代图问题.
[硕士论文] 夏付兵
力学 江苏大学 2017(学位年度)
摘要:多时间尺度混合模式振动问题具有广泛的工程背景,探讨混合模式振动各种可能的诱发机制并对其进行分类是非线性科学的前沿和热点问题之一。本论文以Rayleigh系统、Duffing系统以及van der Pol-Duffing等经典的非线性系统为例,应用分岔理论,频率转换快慢分析法以及数值模拟等方法,揭示了通向混合模式振动的多种新路径,即吸引子的“极速逃逸”机制、滞后曲线的曲折机制以及延迟分岔机制。主要内容如下:
  第一章,介绍了非线性动力学的发展历程,多尺度问题的背景和现状,本文所涉及的分岔类型和研究方法,以及本文的主要工作内容。
  第二章,揭示了多频激励Rayleigh系统中经由吸引子的“极速逃逸”机制而诱发的混合模式振动。快子系统的两个临界值限制了周期吸引子或平衡点吸引子的区域,其外部是发散区域。当控制参数达到临界值时,周期吸引子和平衡点吸引子能够快速远离其初始位置。由此,揭示了诱发混合模式振动的新机制,即所谓的吸引子的“极速逃逸”机制;同时,得到了点-点型和圈-圈型两类新型的混合模式振动。
  第三章,研究了多频激励下的Duffing系统的复杂动力学行为,得到了经由滞后曲线的曲折而诱发的混合模式振动。研究表明,快子系统的平衡点曲线会不断地曲折,这导致混合模式振动的准静态过程产生了明显的振荡行为。基于此,得到了通向混合模式振动的新路径,即滞后的曲折机制。此外,探讨了激励频率和振幅对混合模式振动行为的影响。研究表明,混合模式振动的三个频率分量由激励频率决定,而混合模式振动的转迁则由激励振幅决定。
  第四章,基于延迟Hopf分岔,揭示了通向混合模式振动的新路径,由此得到了两类新的混合模式振动,即组合式“延迟supHopf/fold cycle”-“subHopf/supHopf”型混合模式振动以及经由“延迟supHopf/supHopf”滞后环而诱发的“subHopf/supHopf”型混合模式振动。研究表明,延迟Hopf分岔在混合模式振动产生的过程中起到了决定性的作用,这不仅丰富了通向混合模式振动的道路,同时也深化了对混合模式振动的动力学机制的理解。
  第五章,对本文的结果进行总结,并对今后的工作提出展望。
[硕士论文] 熊峰
数学 桂林电子科技大学 2017(学位年度)
摘要:本研究以数学软件Mathematica为工具,研究几类平面微分动力系统的极限环分支问题。主要内容包括:⑴分别研究一类m=6,n=8与一类m=8, n=6的Liénard系统在各自原点邻域的极限环数目问题,分别证明了系统原点充分小邻域能产生9个和8个极限环,首次给出了(H?)(6,8)的一个下界估计,即(H?)(6,8)≥9;同时给出(H?)(8,6)的下界估计,即(H?)(8,6)≥8。⑵分别研究一类m=8, n=7与一类m=7, n=8的Liénard系统在各自原点邻域的极限环数目问题,分别证明了系统原点充分小邻域能产生9个极限环,首次给出了(H?)(8,7)的一个下界估计,即(H?)(8,7)≥9;同时给出(H?)(7,8)的下界估计,即(H?)(7,8)≥9。⑶研究一类m=9, n=7的Liénard系统在原点邻域的极限环数目问题,证明了系统原点充分小邻域能产生10个极限环,首次给出了(H?)(9,7)的一个下界估计,即(H?)(9,7)≥10。⑷研究一类三次Kolmogorov系统在正平衡点(1,1)处的极限环分支问题。通过变换将所研究的正平衡点(1,1)转换至原点,通过奇点量的计算给出原点成为中心的条件,证得三次Kolmogorov系统可从单个平衡点(1,1)处分支出6个极限环。⑸研究一类三次分片光滑Liénard系统的中心条件与极限环。在假设条件a4b4=0条件下,借助Mathematica代数系统得到了该系统前10个Lyapunov常数,得到了原点为中心的4个充要条件,并证明了该系统最多能分支出9个极限环。
[硕士论文] 班立云
应用数学 湖南师范大学 2017(学位年度)
摘要:随着社会的发展,人们发现生物数学正在发挥着巨大的作用.科学家们已经建立了很多生物数学模型,而其中捕食-被捕食模型的研究最为广泛.通过分析捕食-被捕食模型可以更好地提醒和指导人们保护和改造环境,从而对维护种群共存和生态环境的可持续发展有着极其重大而深远的意义.人们主要研究了捕食-被捕食系统的动力学性质,例如永久性、一致持续生存和灭绝性等.本文主要利用比较原理和Lyapunov函数得到该系统永久性与全局吸引性的充分性条件.本文由以下三章构成:
  第一章主要概述了预备知识、研究背景和本文的主要工作.
  第二章主要运用比较原理,研究了一类捕食-被捕食系统的永久性问题.
  第三章主要通过Lyapunov函数,研究了一类捕食-被捕食系统的全局吸引性问题.
[硕士论文] 王雪萍
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:自然界中最普遍问题大多是关于非线性非保守动力学系统的问题,非标准Lagrange函数具有一些标准Lagrange函数不具有的一些性质,它能描述非线性非保守问题,因此对非标准Lagrange函数的研究有很重要意义和价值。本文主要是对指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下动力学系统的Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性这三种对称性摄动与绝热不变量问题的研究。
  本文第一部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数以及El-Nabulsi模型下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Noether型精确不变量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数以及El-Nabulsi模型下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Noether对称性摄动与其导致的Noether型绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
  本文第二部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Lie对称性间接导致的Noether守恒量和直接导致的Hojman守恒量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Lie对称性摄动与其间接导致的Noether型和直接导致的Hojman型绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
  本文第三部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Mei精确不变量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Mei对称性摄动与其直接导致的Mei绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
[硕士论文] 祖启航
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:本文研究了时间尺度上非完整力学系统的Noether理论。分别给出了时间尺度上位形空间中非Chetaev型非完整力学系统、相空间中非Chetaev型非完整力学系统、Nabla变分问题的非完整力学系统以及可控非完整力学的Noether对称性与守恒量。
  首先,提出时间尺度上位形空间中Hamilton原理,建立了时间尺度上位形空间中非Chetaev非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上位形空间中Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上位形空间中非Chetaev非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
  其次,引进时间尺度上广义动量,依据时间尺度上相空间中Hamilton原理,建立了时间尺度上相空间中非Chetaev非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上相空间中Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上相空间中非Chetaev非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
  再次,根据时间尺度上微积分理论和Delta导数与Nabla导数之间的关系,建立了时间尺度上Nabla导数的非完整Lagrange运动微分方程;根据时间尺度上Nabla变分问题的Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,给出了时间尺度上Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether等式,并找到了相应的守恒量。
  最后,提出在约束条件中加入可控参数,根据时间尺度上Hamilton原理,建立了时间尺度上可控非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上可控非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
[硕士论文] 庞琴
应用数学 兰州交通大学 2017(学位年度)
摘要:动力系统是非线性学科的重要组成部分,非线性问题存在于诸多学科和生活的各个领域中,比如,数学、物理学、生物学、医学、工程、力学以及经济学等都可以用非线性动力系统来解释。特别的,生物数学作为生物和数学的交叉学科,近几年得到了快速的发展。为了建立切合实际的数学模型,需要考虑很多因素,比如,时间、空间、时滞、随机、脉冲,阶段等。对此,本文主要研究离散的传染病模型和带有时滞的食饵-捕食者模型以及随机离散的捕食与被捕食者模型的动力学行为,主要内容分为四章如下:
  1.首先叙述了生物动力系统国内外发展、目的和意义,其次简单叙述了本论文需要用到的一些基本定义和定理,最后介绍了本论文所做的工作。
  2.主要分析一类离散传染病模型SI系统的动力学行为。首先,根据特征方程的特征根的情况得到了不动点稳定性的条件;其次,根据中心流行定理和分岔理论得到了系统在不动点发生倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔的条件;最后,数值模拟验证该结论的正确性。
  3.主要分析具有双时滞的食饵-捕食者模型的动力学行为。首先根据特征根分布情况判断在平衡点处系统的Hopf分岔的存在性;其次,通过运用泛函微分方程的规范性理论以及中心流行定理对系统的Hopf分岔的方向、周期解进行分析;最后,数值模拟验证理论的正确性。
  4.主要分析对带有随机滞后食饵-捕食者模型离散系统的渐近稳定性和Hopf分岔问题进行分析。首先,用正交多项式逼近的方法将随机离散系统转化为确定性系统;其次,根据Hopf分岔理论得到了随机系统发生Hopf分岔的临界值并结合中心流行定理分析;最后,数值模拟说明正确性。
[硕士论文] 张晔
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:本文基于微分方程定性理论和梯度系统方法研究了几类特殊Lagrange系统的奇点及其稳定性并利用Matlab对系统进行数值模拟画出其庞家莱截面图、相图及时域图观察系统在相空间中的运动轨迹判断其动力学行为。
  第一章绪论。简要介绍了Lagrange定性理论的研究历史和现状。第二章Lagrange系统定性理论研究方法。介绍了几类判断奇点稳定性的方法。第三章二自由度自治Lagrange系统的奇点稳定性。主要利用Lyapunov间接法判断其奇点的稳定性。第四章组合梯度系统对Lagrange系统稳定性的应用。首先给出组合梯度系统的微分方程,其次研究其性质并讨论其对Lagrange系统稳定性的应用。第五章二自由度弱非线性耦合系统的动力学行为。首先,用耦合弹簧构建二自由度弱非线性耦合系统,给出该系统的Lagrange函数,并建立其微分方程;然后,求该系统的奇点并利用Lyapunov方法判断其稳定性;最后,利用Matlab对其进行数值模拟,画出庞加莱截面图、相图及时域图,观察系统在相空间中的运动轨迹。第六章弱非线性耦合二维各向异性谐振子的动力学行为。首先,求得弱非线性耦合二维各向异性谐振子的奇点并讨论该系统的奇点稳定性;然后,用Matlab方法对系统进行数值模拟,并运用庞加莱截面观察系统在相空间的运动轨迹,发现随着能量的增加系统出现了混沌现象。最后总结全文,展望未来。
[博士论文] 胡东坡
系统理论 北京交通大学 2017(学位年度)
摘要:本文就非线性动力学的理论、方法在种群生态学和神经系统这两方面的应用展开了研究.主要包括以下四个方面的内容:一是利用向前欧拉差分方法对食饵带有常值收获的一类Holling-Leslie型连续捕食者-食饵模型进行离散化,研究了该离散系统的动态行为;二是考虑了捕食者带有Michaelis-Menten型非线性收获的一类连续型捕食者-食饵系统的动态;三是研究了两个相同的混沌Rulkov神经元通过一个连续的非线性双向化学耦合组成的简单网络;四是研究了多时滞对单个Hindmarsh-Rose神经元动态的影响.具体内容如下:
  第一章与第二章主要分别介绍了本文的选题背景、国内外的研究现状,非线性动力系统的发展概况,种群生态学与神经动力系统的背景知识以及本文所用到的一些非线性动力系统的相关概念、定理和结论等.
  第三章利用欧拉向前离散方法对食饵带有常值收获的一类Holling-Leslie型连续捕食者-食饵模型进行离散化,利用中心流形定理与分岔理论,推导了产生flip分岔和Neimark-Sacker分岔的条件,通过数值模拟对理论分析进行了验证.研究结果表明当连续系统离散化后,积分步长在Holling-Leslie型离散捕食者-食饵模型的局部与全局稳定性中起着重要的作用.
  第四章研究捕食者带有Michaelis-Menten型非线性收获的一类连续型捕食者-食饵系统的动态.给出了系统平衡点的数量,局部稳定性,余维1分岔,如鞍结点分岔、跨临界分岔和Hopf分岔,余维2的Bogdanov-Takens分岔.带有非线性收获的系统经历多种类型的分岔,从生态意义上来看这些分岔是很重要的,尤其是鞍结点分岔和Bogdanov-Takens分岔,可能会导致系统动态剧烈性变化,这些分岔的存在意味着对捕食者或食饵的过度开采则会导致相应物种的灭绝.这些研究可以看作是对现有工作的补充和完善,对于理解具有这种特征的生态系统的复杂动态提供了理论基础和数学支撑.
  第五章研究两个相同的混沌Rulkov神经元通过一个连续的非线性双向化学耦合组成的简单网络的动力学行为.主要考虑了系统的不动点及其稳定性、同步性等问题.不仅考虑了系统参数对耦合网络的影响,还考虑了耦合强度对耦合网络的影响,尤其考虑了耦合强度对两个神经元同步性的作用.两个神经元在随着耦合强度增加的过程中,可以经历比较韦富的放电模式,如出现了方形簇放电,三角簇放电及这两种情况混合的放电模式,最后达到完全同步.此外还给出了在不同的参数平面上系统的同步性区域.
  第六章研究多时滞对单个连续Hindmarsh-Rose神经元动态的影响,主要包括平衡点的稳定性,局部Hopf分岔,Hopf分岔的方向与稳定性.为进一步探究时滞的影响,给出了膜电压的峰峰间期分岔图.在研究中发现,两个时滞具有不同的时间尺度,这种现象很有可能是Hindmarsh-Rose模型本身具有不同的时间尺度所导致的.
[硕士论文] 刘艳东
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:动力学系统的对称性与守恒量在现代数学、力学、物理学等学科中占有重要的地位对其进行研究具有重要意义。本文利用时间重新参数法,分别在时间不变的特殊无限小变换群和时间变化的一般无限小变换群下研究了约束力学系统及分数阶约束力学系统的Noether准对称性定理。全文共分为五章。
  第一章绪论,简要论述了有关Noether对称性和分数阶微积分的发展概况及与课题相关的研究背景和意义,介绍了本文的主要研究内容和所做的工作。第二章预备知识,主要介绍了分数阶微积分和分数阶守恒量的定义、公式及性质。第三章分数阶Lagrange系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了Lagrange系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶Lagrange系统的Noether准对称性,给出分数阶Lagrange系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。第四章分数阶Hamilton系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了Hamilton系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶Hamilton系统的Noether准对称性,给出分数阶Hamilton系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。第五章分数阶广义Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了广义Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶广义Birkhoff系统的Noether准对称性,给出分数阶广义Birkhoff系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。
  最后给出结论与展望。
[硕士论文] 施玉飞
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:力学系统的对称性与守恒量不仅具有着重要的数学意义,而且表现着深刻的物理规律。本文在时间尺度上事件空间中研究了约束力学系统的Noether对称性与守恒量。
  首先,本文分别介绍了位形空间中的Noether理论、事件空间中的Noether理论和时间尺度上的Noether理论的研究历史与进展,并概述本文研究的主要内容。
  然后,简要概述课本涉及到的时间尺度上的微积分知识。如向前跳跃算子、向后跳跃算子、步差函数和△-导数等。
  研究了时间尺度上事件空间中Lagrange系统的Noether对称性与守恒量。建立时间尺度上事件空间中的Lagrange系统的参数方程,给出时间尺度上事件空间中的Euler-Lagrange方程以及Euler-Lagrange变分方程。通过对Hamiltom作用量在无限小变换下的不变性,求得时间尺度上事件空间中的Noether对称关系式,再求得由对称性导致的守恒量。
  研究时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性与守恒量。给出时间尺度上事件空间中Lagrange函数,引入时间尺度上事件空间中广义动量和Hamilton函数,提出并建立时间尺度上事件空间中Hamilton系统的变分问题,求得时间尺度上事件空间中Hamilton正则方程。基于Hamiltom作用量在无限小变换下的不变性,给出了时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性的定义,利用时间重新参数化方法,求得时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性与守恒量。
  研究时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。提出并建立时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的变分问题;求得时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的参数方程;基于Pfaff作用量在无限小变换下的不变性,给出了时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性的定义,利用时间重新参数化方法,求得时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。
  最后,我们对全文进行总结并展望未来。
  本文的创新点:(1)建立了时间尺度上事件空间中约束力学系统的参数方程;(2)得到了时间尺度上事件空间中约束力学系统的Noether对称性与守恒量;(3)推广了Noether定理,证明了位形空间的Noether定理、事件空间中的Noether定理、时间尺度上的Noether定理都是时间尺度上事件空间中的Noether定理的特例。
[硕士论文] 张萌
数学 曲阜师范大学 2017(学位年度)
摘要:动力系统是一类由连续时间系统和离散切换信号两部分组成的重要的混杂系统,是当前研究混杂系统方向最热门的重要课题.脉冲系统作为混杂系统重要组成部分,在许多方面都有相当广泛的应用.另外一种重要的组成部分为切换系统,该系统是由一系列的子系统和逻辑规则来协调各个切换.为了更好地研究这类混杂系统,把它们结合为一种新的系统,即:脉冲切换系统.
  输入-状态稳定性由Sontag首次提出,在脉冲切换系统领域很有研究价值,并且推广到非线性系统.输入-状态稳定性意味着无论初始状态是多少,如果输入信号足够小,状态最终会无限小.在本文的研究中引入不稳定子系统,运用多重Lyapunov方法,得出脉冲切换系统的输入-状态稳定性和随机输入-状态稳定性.本文的主要结论可以概括为以下两个部分:
  1)脉冲切换非线性系统的输入-状态稳定性.
  在多重Lyapunov函数方法和平均脉冲区间条件下,对输入到状态稳定性的研究分三种情况讨论,即:所有子系统稳定,所有子系统不稳定和部分子系统不稳定.如果所有子系统稳定,即使脉冲影响为不稳定脉冲,在有下界的脉冲切换区间条件下,系统仍然为输入-状态稳定.进一步地,如果所有子系统不稳定,在有上界的平均脉冲区间和稳定脉冲影响下,系统仍然为输入-状态稳定.然而,如果存在部分子系统稳定部分子系统不稳定,在特定的条件下,仍然可以证明系统为输入-状态稳定.最后,仿真例子证明了结果的正确性.
  2)随机脉冲切换非线性系统的随机输入-状态稳定性.
  研究了一类脉冲切换非线性系统,考虑随机输入-状态稳定性问题.基于Lyapunov函数方法,给出了保证系统随机输入-状态稳定性的充要条件.然后,借助平均脉冲区间技巧,也分三种情况进行讨论.在脉冲影响的作用下,仍然可以证明系统的随机输入-状态稳定性.最后,仿真例子证明了结果的正确性.
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