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[硕士论文] 祖启航
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:本文研究了时间尺度上非完整力学系统的Noether理论。分别给出了时间尺度上位形空间中非Chetaev型非完整力学系统、相空间中非Chetaev型非完整力学系统、Nabla变分问题的非完整力学系统以及可控非完整力学的Noether对称性与守恒量。
  首先,提出时间尺度上位形空间中Hamilton原理,建立了时间尺度上位形空间中非Chetaev非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上位形空间中Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上位形空间中非Chetaev非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
  其次,引进时间尺度上广义动量,依据时间尺度上相空间中Hamilton原理,建立了时间尺度上相空间中非Chetaev非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上相空间中Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上相空间中非Chetaev非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
  再次,根据时间尺度上微积分理论和Delta导数与Nabla导数之间的关系,建立了时间尺度上Nabla导数的非完整Lagrange运动微分方程;根据时间尺度上Nabla变分问题的Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,给出了时间尺度上Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether等式,并找到了相应的守恒量。
  最后,提出在约束条件中加入可控参数,根据时间尺度上Hamilton原理,建立了时间尺度上可控非完整力学系统的运动微分方程;基于时间尺度上Hamilton作用量在无限小群变换下的不变性,利用时间重新参数法,给出了时间尺度上可控非完整力学系统的Noether等式,并导出相应的守恒量。
[硕士论文] 王雪萍
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:自然界中最普遍问题大多是关于非线性非保守动力学系统的问题,非标准Lagrange函数具有一些标准Lagrange函数不具有的一些性质,它能描述非线性非保守问题,因此对非标准Lagrange函数的研究有很重要意义和价值。本文主要是对指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下动力学系统的Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性这三种对称性摄动与绝热不变量问题的研究。
  本文第一部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数以及El-Nabulsi模型下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Noether型精确不变量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数以及El-Nabulsi模型下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Noether对称性摄动与其导致的Noether型绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
  本文第二部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Lie对称性间接导致的Noether守恒量和直接导致的Hojman守恒量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Lie对称性摄动与其间接导致的Noether型和直接导致的Hojman型绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
  本文第三部分,首先,列出指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Mei精确不变量。其次,再从高阶绝热不变量的定义出发,继续探究小扰动作用下指数Lagrange函数和幂律Lagrange函数下的Mei对称性摄动与其直接导致的Mei绝热不变量之间的关系。最后,再由高阶绝热不变量存在的条件和形式,建立了相应的摄动定理。
[硕士论文] 庞琴
应用数学 兰州交通大学 2017(学位年度)
摘要:动力系统是非线性学科的重要组成部分,非线性问题存在于诸多学科和生活的各个领域中,比如,数学、物理学、生物学、医学、工程、力学以及经济学等都可以用非线性动力系统来解释。特别的,生物数学作为生物和数学的交叉学科,近几年得到了快速的发展。为了建立切合实际的数学模型,需要考虑很多因素,比如,时间、空间、时滞、随机、脉冲,阶段等。对此,本文主要研究离散的传染病模型和带有时滞的食饵-捕食者模型以及随机离散的捕食与被捕食者模型的动力学行为,主要内容分为四章如下:
  1.首先叙述了生物动力系统国内外发展、目的和意义,其次简单叙述了本论文需要用到的一些基本定义和定理,最后介绍了本论文所做的工作。
  2.主要分析一类离散传染病模型SI系统的动力学行为。首先,根据特征方程的特征根的情况得到了不动点稳定性的条件;其次,根据中心流行定理和分岔理论得到了系统在不动点发生倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔的条件;最后,数值模拟验证该结论的正确性。
  3.主要分析具有双时滞的食饵-捕食者模型的动力学行为。首先根据特征根分布情况判断在平衡点处系统的Hopf分岔的存在性;其次,通过运用泛函微分方程的规范性理论以及中心流行定理对系统的Hopf分岔的方向、周期解进行分析;最后,数值模拟验证理论的正确性。
  4.主要分析对带有随机滞后食饵-捕食者模型离散系统的渐近稳定性和Hopf分岔问题进行分析。首先,用正交多项式逼近的方法将随机离散系统转化为确定性系统;其次,根据Hopf分岔理论得到了随机系统发生Hopf分岔的临界值并结合中心流行定理分析;最后,数值模拟说明正确性。
[硕士论文] 班立云
应用数学 湖南师范大学 2017(学位年度)
摘要:随着社会的发展,人们发现生物数学正在发挥着巨大的作用.科学家们已经建立了很多生物数学模型,而其中捕食-被捕食模型的研究最为广泛.通过分析捕食-被捕食模型可以更好地提醒和指导人们保护和改造环境,从而对维护种群共存和生态环境的可持续发展有着极其重大而深远的意义.人们主要研究了捕食-被捕食系统的动力学性质,例如永久性、一致持续生存和灭绝性等.本文主要利用比较原理和Lyapunov函数得到该系统永久性与全局吸引性的充分性条件.本文由以下三章构成:
  第一章主要概述了预备知识、研究背景和本文的主要工作.
  第二章主要运用比较原理,研究了一类捕食-被捕食系统的永久性问题.
  第三章主要通过Lyapunov函数,研究了一类捕食-被捕食系统的全局吸引性问题.
[硕士论文] 刘艳东
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:动力学系统的对称性与守恒量在现代数学、力学、物理学等学科中占有重要的地位对其进行研究具有重要意义。本文利用时间重新参数法,分别在时间不变的特殊无限小变换群和时间变化的一般无限小变换群下研究了约束力学系统及分数阶约束力学系统的Noether准对称性定理。全文共分为五章。
  第一章绪论,简要论述了有关Noether对称性和分数阶微积分的发展概况及与课题相关的研究背景和意义,介绍了本文的主要研究内容和所做的工作。第二章预备知识,主要介绍了分数阶微积分和分数阶守恒量的定义、公式及性质。第三章分数阶Lagrange系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了Lagrange系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶Lagrange系统的Noether准对称性,给出分数阶Lagrange系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。第四章分数阶Hamilton系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了Hamilton系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶Hamilton系统的Noether准对称性,给出分数阶Hamilton系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。第五章分数阶广义Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量。利用时间重新参数化方法证明了广义Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量定理;在此基础上研究了分数阶广义Birkhoff系统的Noether准对称性,给出分数阶广义Birkhoff系统准对称性的定义,并由准对称性得到相应的守恒量。
  最后给出结论与展望。
[硕士论文] 张晔
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:本文基于微分方程定性理论和梯度系统方法研究了几类特殊Lagrange系统的奇点及其稳定性并利用Matlab对系统进行数值模拟画出其庞家莱截面图、相图及时域图观察系统在相空间中的运动轨迹判断其动力学行为。
  第一章绪论。简要介绍了Lagrange定性理论的研究历史和现状。第二章Lagrange系统定性理论研究方法。介绍了几类判断奇点稳定性的方法。第三章二自由度自治Lagrange系统的奇点稳定性。主要利用Lyapunov间接法判断其奇点的稳定性。第四章组合梯度系统对Lagrange系统稳定性的应用。首先给出组合梯度系统的微分方程,其次研究其性质并讨论其对Lagrange系统稳定性的应用。第五章二自由度弱非线性耦合系统的动力学行为。首先,用耦合弹簧构建二自由度弱非线性耦合系统,给出该系统的Lagrange函数,并建立其微分方程;然后,求该系统的奇点并利用Lyapunov方法判断其稳定性;最后,利用Matlab对其进行数值模拟,画出庞加莱截面图、相图及时域图,观察系统在相空间中的运动轨迹。第六章弱非线性耦合二维各向异性谐振子的动力学行为。首先,求得弱非线性耦合二维各向异性谐振子的奇点并讨论该系统的奇点稳定性;然后,用Matlab方法对系统进行数值模拟,并运用庞加莱截面观察系统在相空间的运动轨迹,发现随着能量的增加系统出现了混沌现象。最后总结全文,展望未来。
[硕士论文] 施玉飞
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:力学系统的对称性与守恒量不仅具有着重要的数学意义,而且表现着深刻的物理规律。本文在时间尺度上事件空间中研究了约束力学系统的Noether对称性与守恒量。
  首先,本文分别介绍了位形空间中的Noether理论、事件空间中的Noether理论和时间尺度上的Noether理论的研究历史与进展,并概述本文研究的主要内容。
  然后,简要概述课本涉及到的时间尺度上的微积分知识。如向前跳跃算子、向后跳跃算子、步差函数和△-导数等。
  研究了时间尺度上事件空间中Lagrange系统的Noether对称性与守恒量。建立时间尺度上事件空间中的Lagrange系统的参数方程,给出时间尺度上事件空间中的Euler-Lagrange方程以及Euler-Lagrange变分方程。通过对Hamiltom作用量在无限小变换下的不变性,求得时间尺度上事件空间中的Noether对称关系式,再求得由对称性导致的守恒量。
  研究时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性与守恒量。给出时间尺度上事件空间中Lagrange函数,引入时间尺度上事件空间中广义动量和Hamilton函数,提出并建立时间尺度上事件空间中Hamilton系统的变分问题,求得时间尺度上事件空间中Hamilton正则方程。基于Hamiltom作用量在无限小变换下的不变性,给出了时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性的定义,利用时间重新参数化方法,求得时间尺度上事件空间中Hamilton系统的Noether对称性与守恒量。
  研究时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。提出并建立时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的变分问题;求得时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的参数方程;基于Pfaff作用量在无限小变换下的不变性,给出了时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性的定义,利用时间重新参数化方法,求得时间尺度上事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。
  最后,我们对全文进行总结并展望未来。
  本文的创新点:(1)建立了时间尺度上事件空间中约束力学系统的参数方程;(2)得到了时间尺度上事件空间中约束力学系统的Noether对称性与守恒量;(3)推广了Noether定理,证明了位形空间的Noether定理、事件空间中的Noether定理、时间尺度上的Noether定理都是时间尺度上事件空间中的Noether定理的特例。
[硕士论文] 张萌
数学 曲阜师范大学 2017(学位年度)
摘要:动力系统是一类由连续时间系统和离散切换信号两部分组成的重要的混杂系统,是当前研究混杂系统方向最热门的重要课题.脉冲系统作为混杂系统重要组成部分,在许多方面都有相当广泛的应用.另外一种重要的组成部分为切换系统,该系统是由一系列的子系统和逻辑规则来协调各个切换.为了更好地研究这类混杂系统,把它们结合为一种新的系统,即:脉冲切换系统.
  输入-状态稳定性由Sontag首次提出,在脉冲切换系统领域很有研究价值,并且推广到非线性系统.输入-状态稳定性意味着无论初始状态是多少,如果输入信号足够小,状态最终会无限小.在本文的研究中引入不稳定子系统,运用多重Lyapunov方法,得出脉冲切换系统的输入-状态稳定性和随机输入-状态稳定性.本文的主要结论可以概括为以下两个部分:
  1)脉冲切换非线性系统的输入-状态稳定性.
  在多重Lyapunov函数方法和平均脉冲区间条件下,对输入到状态稳定性的研究分三种情况讨论,即:所有子系统稳定,所有子系统不稳定和部分子系统不稳定.如果所有子系统稳定,即使脉冲影响为不稳定脉冲,在有下界的脉冲切换区间条件下,系统仍然为输入-状态稳定.进一步地,如果所有子系统不稳定,在有上界的平均脉冲区间和稳定脉冲影响下,系统仍然为输入-状态稳定.然而,如果存在部分子系统稳定部分子系统不稳定,在特定的条件下,仍然可以证明系统为输入-状态稳定.最后,仿真例子证明了结果的正确性.
  2)随机脉冲切换非线性系统的随机输入-状态稳定性.
  研究了一类脉冲切换非线性系统,考虑随机输入-状态稳定性问题.基于Lyapunov函数方法,给出了保证系统随机输入-状态稳定性的充要条件.然后,借助平均脉冲区间技巧,也分三种情况进行讨论.在脉冲影响的作用下,仍然可以证明系统的随机输入-状态稳定性.最后,仿真例子证明了结果的正确性.
[硕士论文] 王娜
应用数学 重庆师范大学 2017(学位年度)
摘要:在生态环境中,种群的扩散和迀徙是一个很普遍的现象,且在实际生活中种群的数量变化会受到天气、季节等因素的影响,因此考虑周期环境下具有脉冲效应的种群模型更具有实际意义.另外,利用脉冲微分方程来描述种群动力学的脉冲效应,如害虫治理、捕捞、免疫等成为研究热点.基于此,本文分别考虑在脉冲控制下的单斑块和多斑块的周期系数种群模型,给出害虫灭绝周期解的稳定性与持久性条件.全文主要分为两个部分:
  第一部分主要考虑在不同脉冲时刻收割庄稼、喷洒农药以及释放天敌等因素,研究具有周期系数的脉冲种群控制模型.利用脉冲微分方程比较原理、线性化方法以及Floret原理,得到系统的害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性的充分条件.
  第二部分研究在斑块环境下具有周期系数的植物害虫天敌脉冲控制模型.在第一部分模型的基础上,考虑种群的扩散性,将单斑块模型推广到m-斑块模型,同时考虑在不同脉冲时刻进行收割庄稼、喷洒农药以及释放天敌.利用脉冲微分方程比较原理、线性化方法以及Floquet原理,我们得到系统害虫灭绝周期解全局渐近稳定性的充分条件.然后通过持久性理论得到该系统的持久性条件.最后给出2个斑块情况下的数值例子,从而验证所得结论.
[硕士论文] 高瑾
应用数学 重庆师范大学 2017(学位年度)
摘要:由于非自治动力系统以及自治动力系统与其对应的超空间动力系统一直以来是广大学者研究的热点课题,而对超空间非自治动力系统的研究就成为一个比较新的课题.本文主要研究Li-Yorke敏感性,分布混沌性,F-敏感性和多重敏感性这几类混沌性质在超空间非自治动力系统上的情况.
  首先,将非自治动力系统的迭代系统(X,f[k]1,∞)的Li-Yorke敏感性和分布混沌性引入到了超空间上,讨论了超空间非自治动力系统的迭代系统(K(X),-[k]f1,∞)的Li-Yorke敏感性和分布混沌性,研究了系统(K(X),-f1;∞)的Li-Yorke敏感性和巧-混沌性在其迭代运算下保持的条件.此外,还分析了两个超空间非自治动力系统的迭代系统与其复合乘积动力系统的Li-Yorke敏感的蕴含关系.其次,将超空间自治动力系统的F-敏感性与多重敏感性引入到更一般的非自治动力系统中,讨论了超空间非自治动力系统(K(X),-f1,∞)的F-敏感性与多重敏感性.分为以下两个部分:第一部分讨论了非自治动力系统与其对应的超空间非自治动力系统之间的F-敏感和多重敏感的蕴含关系;第二部分讨论了两个非自治动力系统与其对应的超空间非自治动力系统的复合乘积动力系统之间的F-敏感的蕴含关系以及两个超空间非自治动力系统与其复合乘积动力系统之间的F-敏感和多重敏感的蕴含关系.本文研究超空间非自治动力系统的几类混沌性质的思想也可以运用到其他超空间非自治动力系统的混沌性质的研究中.
[硕士论文] 肖山峰
基础数学 广西大学 2017(学位年度)
摘要:在科技不断进步的今天,动力系统作为数学研究应用的一个热门领域,已经得到了前所未有的发展,渗透到了不同的自然科学和工程领域.混沌是典型确定的却不能够预测的非线性现象,作为非线性物理科学的一个重要分支,混沌动力学在上个世纪引起了众多学者的广泛关注,经过几十年的发展变化,混沌理论基本成型,主要包括分岔、同步、控制与反控制、混沌系统的识别及其应用.如何定量描述动力或混沌系统的代数或是几何特征是一项有用且重要的科研工作,比如Lyapunov指数、分形维数、熵等.通过对前人文献的大量阅读,本文基于Chen和Chang定义的一种新的命名为曲率指数的定量的方法来研究动力系统.
  (1)曲率指数被定义为动力系统的轨迹在时间演化过程中平均曲率的极限值,度量了系统的轨迹在进入吸引子时的弯曲程度,并以一个空间球体估计了吸引子的平均大小;N维系统就有N-1个曲率指数;给出了曲率指数的定义和计算方法,证明了三维空间下曲率指数的特殊形态.
  (2)研究了曲率指数在基本曲线和三维、四维、五维等动力系统中,对动力系统结构性变化的应用结果,表明一个或多个(维数>2时)高阶的曲率指数可以分辨出系统结构变更时吸引子的拓扑结构变化.
  (3)研究了耦合混沌同步的问题.曲率指数能够有效地反映系统是否达到各种不同的耦合同步,并显示出系统耦合同步时耦合参数的阈值点.以耦合Rossler系统为例表明曲率指数的有效性.
  (4)通过模拟经典的动力系统实例并和著名的Lyapunov指数作对比,观察到这种曲率指数是非常可行的,对于动力系统的研究具有重要意义.
[硕士论文] 杨敏丽
应用数学 浙江师范大学 2017(学位年度)
摘要:分段光滑动力系统是一类典型的非线性动力系统,而在分段光滑动力系统中,最常见的就是分段线性系统.分段线性系统不仅能恰当地描述很多自然物理现象,而且广泛应用于机械工程、控制、生物、电力电子、航天航空等领域.并且,这类系统存在着复杂的非线性现象,在一定条件下可出现混沌运动.因此,完善分段线性动力系统的理论,深入研究分段线性系统的内在运动机理和系统的动力学行为具有重要的理论和实际意义.近年来,关于分段线性系统的周期运动及其稳定性,极限环,分岔与混沌的研究一直是一项很重要的课题,学术界的研究者在各自的不懈努力下也取得了很大的进步,但到目前为止该课题领域仍然还有很多问题没有得到解决.
  本文主要致力于研究具有双鞍焦点的分段线性动力系统,主要取得了如下几个创新成果.
  (1)针对具有双鞍焦点的三维分段线性系统,从理论上严格分析了该类系统同宿轨、异宿环的存在性条件,获得了相应的判定定理.在此基础上,运用Shilnikov定理严格证明了此类系统混沌的存在性.
  (2)针对具有双鞍焦点的三维分段线性系统,通过构造Poincare映射从理论上推导出了该类系统存在周期轨的一般条件.
  (3)将前面得到的理论方法和思想运用于一个修正的Lorenz系统,通过理论分析得到了该系统在不同参数条件下的同宿环,异宿环,周期轨以及混沌的存在结果.最后借用计算机计算Lyapunov指数,数值模拟验证了理论分析的准确性。
[硕士论文] 但建军
应用数学 重庆师范大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究了超空间系统与原动力系统在Furstenberg族意义下的传递、混合、等度连续及敏感依赖性等性质.第一章,首先简述了动力系统及超空间动力系统的发展,然后介绍了Furstenberg族的发展及本文的大致框架.第二章,讨论了原动力系统与超空间系统之间F-传递性质的蕴含关系,证明了F-混合性质、F-等度连续性质、F-等距性质是等价的.另外,得到了超空间系统F-传递性与F-混合性相关的三个等价命题.第三章,讨论了原动力系统F-敏感性与超空间系统F-敏感性是等价的,并且得到了与F-敏感性相关的四个等价命题.最后,证明了原动力系统的渐近敏感性-多重敏感性)与超空间系统的渐近敏感性(7-多重敏感性)是等价的.
[硕士论文] 唐亚林
基础数学 广西大学 2017(学位年度)
摘要:近年来,许多学者研究了树映射的动力学性质,例如湍流、ω-极限集的特征、拓扑可迁与拓扑混合性、链等价集与湍流、吸引中心与拓扑熵等.称任何一个与集合X3={z∈C:z3∈[0,1]}同胚的树(即不含圈的一维紧致连通的分支流形)为Y-星,记为Y.本文主要研究Y空间上的连续自映射伪轨跟踪性、逆伪轨跟踪性,以及伪轨跟踪性与逐点链回归之间的关系.
  在第三章中,设f:Y→ Y是一个连续映射,P(f)=F(f),且F(f)无处稠密.我们证明了下述条件等价:(1)f具有伪轨跟踪性质;(2)若x∈Y,fn(x)收敛于不动点p,且[p,q]为p的非吸收邻域,则对于x的每一个邻域Ox,以及任意的z∈[p,q),存在n∈N,使得[p,z](C)fn(Ox).
  在第四章中,设f: Y→Y是一个同胚映射,P(f)=F(f),且F(f)无处稠密.我们证明了下述条件等价:(1)f具有伪轨跟踪性;(2)f具有正向Tc-逆伪轨跟踪性;(3)f具有正向Th-逆伪轨跟踪性.另外,我们还得到了区间上自同胚的正向逆伪轨跟性的几个等价条件.
  在第五章中,我们证明了:若f是逐点链回归的,则f不具有伪轨跟踪性.
[硕士论文] 叶成博
基础数学 广西大学 2017(学位年度)
摘要:离散动力系统是动力系统的一个重要分支,运用离散动力系统描述一些实际问题和现象是大多数学者普遍接受的.然而,存在很多复杂的系统涉及两个或两个以上相互作用,这些系统不能被单个映射f产生的动力系统所表示.为了模拟这些系统,越来越多的学者开始研究交错系统(X,[f,g])的动力学性质.本文主要研究交错系统的周期性、传递性、拓扑熵等,内容包括:
  (1)本文给出了n维交错系统(X,F={fi}ni=1)的定义,发现了n维交错系统(X,F={fi}ni=1)周期点与动力系统(X,fn(Ο)fn-1(Ο)…(Ο)f1)周期点之间的联系.
  (2)本文给出并论证了交错系统(X,[f,g])拓扑熵的两种定义,得到这两种拓扑熵与fog的拓扑熵之间的等价关系.
  (3)本文论证了传递性、弱混合、混合、正合等动力性质在交错系统(X,[f,g]),交错系统(X,[g,f]),动力系统(X,g(Ο)f)和动力系统(X,f(Ο)g)上的关系,并给出了几个反例.例如,存在非满连续映射f,g满足:[g,f]传递,但[f,g]不传递;存在连续映射f,g满足:[f,g]传递,但g(Ο)f不传递.
[硕士论文] 吴长青
应用数学 重庆大学 2017(学位年度)
摘要:最近流行的禽流感79HN,就属于传染病中的一种。为了预防和控制它,人们可没少花功夫。因为它的存在不仅威胁着家禽的生命,更重要的是它也对人类的生命构成了巨大的威胁;所以解决传染病问题就成为了一个非常严峻的问题。一方面,可以从医学的角度上去研制相应的疫苗进行防疫或治愈外;另一方面还可以通过生物数学建模去研究传染病的传播机制和原理。通过利用其机制和原理来控制疾病的产生或传播。在此通过建立传染病动力系统模型,分析其对应系统的理论性态来达到控制传染病的目的。为此,本篇文章从传染病的角度出发,将分以下五个章节做详细介绍。
  既然传染病模型也属于数学与生物学交叉的产物之一,所以在介绍传染病动力系统模型之前,首先对生物学和数学的交叉结合做一个简单的介绍也是有必要的。于是在本篇的第一节绪论中首先是对生物学和数学的交叉知识做了一个简略的概括。接下来是从传染病的历史背景,研究背景,研究现状和未来的发展方向做了一定的叙述;本节最后一部分内容是作者简要地叙述了自己在本篇论文中将所要做的工作。
  在本篇第二节中主要涉及到论文所需的基础理论知识,涵盖定义,公式,定理等。其中主要包括矩阵,微分方程定性理论,动力系统,正规型理论和分岔理论等做了简要的介绍。此节目的是为撰写文章后续的核心部分打下坚实的基础,做好文章的基石。
  第三节是在第二节的基础上对一些简单性的,有代表性的模型进行“实战演练”。从最简单的Kermack-McKendrick模型开始,主要分析了其系统的稳定性态。随着模型不断的复杂化,系统也开始出现更多,更复杂的特性,所以第二部分是在Kermack-McKendrick模型的基础上引入了一类带有出生与死亡的SIR模型,主要介绍怎样通过控制基本再生数来达到控制疾病的传播问题。第三部分讨论的是曾经多次被引入过的SIRS模型,除了重新去讨论其在平衡点的稳定性态外,也对分岔理论做了初步的介绍。
  第四节是本篇论文的核心之处,也是论文的创新所在。内容是本篇作者花了长时间研究的一类SIRS传染病模型的动力性态,其对应发生率。
  与其他文章的不同之处在于,本节所涉及到的内容是在没有假定总人口规模为常数的情况下,直接从系统模型的本身着手去讨论模型所固有的性态。同时运用数学软件模拟出来的结果也很好的匹配了本篇所得出结论。
  第五节是对本篇论文工作的一个简略总结,总结了本篇论文的不足之处和对未来工作的美好愿望。
[博士论文] 于涛
基础数学 中国科学技术大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究族意义下的拓扑与测度敏感性,对不交性问题也有所涉及。具体安排如下:
  在第一章中,我们简要回顾拓扑动力系统和遍历理论的发展历程和主要的研究内容,并介绍本文研究背景以及主要研究成果。
  在第二章中,我们简单介绍一些拓扑动力系统和遍历理论的基本定义和性质,以及后文将要用到的一些概念和结论。
  第三章到第六章是本文的主体部分,详细介绍我们的主要研究成果。
  在第三章中,我们主要研究拓扑族敏感。特别地,我们引入分块thick敏感,分块IP敏感,强thick敏感和强IP敏感的概念。运用极小流结构定理,我们证明极小系统要么是强thick敏感要么是其极大distal因子的proximal扩充。运用遍历理论的方法和极大无穷步幂零因子的性质,给出了以下的结果:
  (1)极小系统要么是分块IP敏感要么是其极大无穷步幂零因子的几乎一对一扩充;
  (2)极小系统要么是分块thick敏感要么是其极大等度连续因子的proximal扩充;
  (3)极小系统要么是强IP敏感要么是其极大distal因子的几乎一对一扩充。这些结果将极小系统在族的意义下的敏感性与系统本身的结构一对应起来,用敏感的语言给出极小系统结构的另一种刻画。
  在第四章中,我们主要研究测度族敏感。由于拓扑动力系统(X,T)存在不变测度μ,所以(X,Bx,μ,T)可以被视为一个保测系统,其中Bx是X的Borelσ-代数。我们引入thick-μ敏感,IP-μ敏感,分块thick-μ敏感和分块IP-μ敏感的概念,并且证明了对极小系统:
  (1) thick-μ敏感与thick敏感是等价的;
  (2)分块thick-μ敏感与分块thick敏感是等价的;
  (3)分块IP-μ敏感与分块IP敏感是等价的。
  在第五章中,我们引入向量敏感的概念,并且着重研究两种特例:l-敏感和δ-l-敏感.我们证明即使对任意正整数l,系统是l-敏感,系统也不一定是多重敏感的;并且构造一个极小系统是l-敏感但不是(l+1)-敏感。为了区分δ-l-敏感和δ-(l+1)-敏感,我们构造一个极小系统(弱混合系统)是δ-l-敏感但不是δ-(l+1)-敏感。
  在第六章中,我们研究了群作用下与极小系统都不交的系统的性质。证明了当G是交换群时,如果(X,G)是弱混合系统且distal点稠密,那么(X,G)与极小系统都不交,将董攀登,邵松和叶向东[20]的工作推广到交换群作用。又证明了如果(X,Zd)是传递的且与极小系统都不交,那么(X,Zd)是弱混合M-系统且没有非平凡的的极小因子,将黄文和叶向东[58]的工作推广到Zd作用。
[博士论文] 陈立锋
应用数学 上海师范大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究了随机小扰动下动力系统的渐近性态。其主体由如下两大部分组成:第一部分,给出抽象研究(半)动力系统Ψ在随机扰动且其噪声强度为下构成的Markov过程X={Xt}t≥0的平稳测度μ,当→0时,μ的渐近性态的一般框架.证明了μ的任意弱收敛极限必是Ψ不变的,且其支撑落在Ψ的Birkhoff中心.接着,将此抽象结果应用于各类时间演化的随机系统,更确切地,完整系统给出了一套针对由Wiener过程或L′evy过程驱动的随机常微分方程、随机偏微分方程(包括随机反应扩散方程,随机Navier-Stokes方程和随机Burgers方程等)、随机泛函微分方程和常步长随机逼近都行之有效的理论,并在具体例子的应用中发现平稳测度新的极限现象;并且将此抽象结果应用于由Wiener过程驱动的随机反应扩散方程和由Levy过程驱动的随机二维Navier-Stokes方程组以及一类由Wiener过程驱动的随机泛函微分方程,得到了相应的结果。第二部分对白噪声扰动的且具有相同内禀增长率的Lotka-Volterra系统(简称随机Lotka-Volterra系统)首先发现了解的分解公式,即此随机系统的解可表示为随机logistic系统的解与对应确定性Lotka-Volterra系统的解之积,并借助于此公式证明了随机系统的解可生成随机动力系统.然后,分别通过轨道观点和分布观点研究了拉回轨道的渐近性态,吸引域和平稳测度的存在性,及其在正不变集上的惟一遍历性.特别地,对三维随机Lotka-Volterra竞争系统,基于对应确定性系统的nullcline等价类给出的37种动力学完整分类,可进一步从轨道和分布意义下分别给出与确定性相对应的完整分类.最后,结合分布意义下的分类和第一部分给出的关于平稳测度族渐近性态研究的理论,完整系统讨论了极限分布的性态。
[博士论文] 龙斌
应用数学 重庆大学 2017(学位年度)
摘要:同宿、异宿轨道作为动力系统理论中一类非常有趣的不变集,曾引起了许多专家学者的关注.人们知道Smale马蹄为我们描述了混沌的动力学行为,那么什么会触发混沌由Birkhoff-Smale定理我们知道当一个映射f出现横截同宿点时就意味着出现Smale马蹄,发生混沌运动.因此对同宿、异宿轨道分支的研究能让我们更好的理解复杂的动力学行为.本文主要利用指数二分、Fredholm更替原理、Lyapunove-Schmidt约化来研究几类退化的同宿、异宿轨道的分支问题.全文共分为如下六个章节:
  第一章,主要介绍所研究问题的背景、发展状况,最后简单的介绍本文的主要结论和所使用的符号.
  第二章,介绍研究问题的主要工具—Melnikov方法、Lyapunov-Schmidt约化、指数二分性.第一节我们详细介绍了利用Melnikov方法处理一平面Hamiltonian系统在周期扰动下的同宿轨保持问题.同时给出了扰动系统的周期映射出现横截同宿点的条件.第二节中我们介绍了利用Lyapunov-Schmidt约化方法在求解一有界线性算子方程过程中是如何降低维数的.第三节中我们详细介绍了有限维与无穷维空间中指数二分性的定义及其在同宿、异宿轨道分支中的应用.
  第三章,考虑一个n维自治常微分方程.假设其具有异宿于两个双曲平衡点的异宿轨,且此异宿轨的变分方程具有三个线性无关的有界解,其对偶方程具有两个线性无关的有界解.我们研究了这个退化的异宿轨在周期扰动下的分支问题.利用指数二分性与Lyapunov-Schmidt约化方法我们推导出了一个分支函数.分支函数零点的存在性就对应着未扰动的异宿轨在周期扰动下的异宿轨的保持.分支函数关于参数Taylor展开的低阶项为两个实二次型方程.二次型所对应的实对称矩阵由一些Melnikov型的积分构成.根据实对称矩阵的特征值类型,将二次型方程分为直线型、双曲线型、椭圆型.利用特定的圆旋转及双曲旋转将这两个实对称矩阵同时合同对角化,使得二次型方程化为标准形.在化为标准形的二次型方程中确定出方程具有两个或四个简单零点的条件.应用隐函数定理得出分支函数具有两个或四个零点.即未扰动的退化的异宿轨在周期扰动下会分支出两个或四个异宿轨.同时这些异宿轨的变分方程的有界解只有零解.即扰动方程所对应的周期映射存在两个或四个横截异宿点,因此扰动系统存在两个或四个混沌运动.
  第四章,考虑一个具有同宿于双曲平衡点的退化同宿轨的抛物方程.假设沿着同宿轨的变分方程的线性无关的有界解的个数是任意的有限数.我们研究了这个抛物方程在周期扰动下从退化的同宿轨附近分支出周期解的问题.首先应用指数二分性与常数变异公式构造出扰动方程的解.然后利用Fredholm交替定理和Lyapunov-Schmidt约化推导出了满足周期解的条件.即得出分支函数,其定义域及值域都是有限维的空间.分支函数零点的存在性就对应着扰动方程周期解的存在性.在一定的条件下,我们得出扰动方程会从退化的同宿轨附近分支出周期解.
  第五章,考虑一特殊形式的快慢系统.设快、慢变量分别为x、y.此特殊形式,通过对慢变量应用平均变化即可化为形如这样的方程.假设未扰动的快系统在xoy面具有一个退化的同宿于双曲平衡点的同宿轨.对于慢系统假设原点为其双曲平衡点.我们研究了这个快慢系统从快变量的退化同宿轨附近分支出周期解的问题.由慢系统的一些双曲性得到扰动后的一个有界解,然后将其带入到快系统中将快慢系统解耦.利用指数二分性与Lyapunov-Schmidt约化方法推导出相应的分支函数.在分支函数零点可解的条件下,得出在附近分支出周期解.同时给出了一个例子来验证我们的结论.
  第六章,总结了全文研究的主要结果,并提出本文尚未克服的困难和我们希望进一步考虑的问题.
[硕士论文] 段礼鹏
应用数学 安徽大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究一类广义的全局正则化Navier-Stokes方程解的存在、唯一性问题以及整体解长时间渐近行为.{(e)tu+vΛ2αu+FN(‖Λβu‖)(u·▽)u+▽P=f,▽·u=0,u(0,x)=u0(x),这类模型最早由Caraballo,Kloeden等人引入(Adv.Nonlinear Stud.6:2006,411-436).针对参数α,β的不同取值范围,我们分别讨论了方程解的存在、唯一性问题以及整体解的长时间渐近行为.我们证明了当4α+2β>5,α>1/2时,上述方程具有全局弱解;特别,当α>β时,若4α2-5α+2β2≥0或2α+4β>5,则弱解具有唯一性.此外,我们还证明了4α+2β>5,α>1/2,f∈Hs-α时,上述方程具有全局强解且相应的解半群S(t)在Hs中具有全局吸引子.进一步,若s≥max{1,β},f∈Hs0,s0=s-1+α,则该全局吸引子具有有限的分形维数.
  本篇论文共分为四章.第一章主要介绍无穷维动力系统的一些基本理论及研究进展.第二章为预备知识,主要介绍一些本文要用到的一些基本的函数空间及不等式.第三、四章为本文的主要部分.其中,第三章给出了弱解和强解的存在、唯一性结果;第四章主要考察整体解的长时间渐近行为,即全局吸引子的存在性及其分形维数估计.
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